Recta, con ponderación

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>Modelo

ID:(1197, 0)

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Línea Recta

Ecuación

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Para ajustar datos (x_i,y_i) a una recta del tipo

y=ax+b

se debe calcular los valores a y b tal que la diferencia de los cuadrados.

$\sum_i w_i(y_i-ax_i-b)^2 = min$

sea un mínimo, donde w_i es la ponderación de las coordenadas i.

ID:(9438, 0)

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Pendiente

Ecuación

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Si se deriva

$\sum_i w_i(y_i-ax_i-b)^2 = min$

respecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:

S_{xy}+aS_{xx}+bS_x=0

donde

S_x=\sum_iw_ix_i, S_{xx}=\sum_iw_ix_i^2, S_{xy}=\sum_iw_ix_iy_i y S_N=\sum_iw_i.

Si se repite la operación para b se obtiene la ecuación:

bN-S_y+aS_x=0

con S_y=\sum_iw_iy_i.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente es

$ a =\displaystyle\frac{ S_N S_{xy} - S_x S_y }{ S_N S_{x2} - S_x ^2}$

ID:(9439, 0)

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Constante

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se deriva

$\sum_i w_i(y_i-ax_i-b)^2 = min$

respecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:

S_{xy}+aS_{x2}+bS_x=0

donde

S_{x,n,y,m}=\sum_iw_ix_i^ny_i^m

en que en el caso que n o m sean cero no se escribe el factor x o y y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para b se obtiene la ecuación:

bS_N-S_y+aS_x=0

La solución de las ecuaciones lleva a que la constante b es

$ b =\displaystyle\frac{ S_{x2} S_y - S_x S_{xy} }{ S_N S_{x2} - S_x ^2}$

ID:(9440, 0)

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Desviación

Ecuación

>Top, >Modelo

La regresión se calcula en función de que

$\sum_i w_i(y_i-ax_i-b)^2 = min$

sea un mínimo. Si se desarrolla el cuadrado y se divide la raíz de este valor por el valor medio se obtienen una medida de la desviación media de la regresión:

$\epsilon=\displaystyle\frac{S_{y2}+a^2S_{x2}+b^2S_N+2abS_x-2aS_{xy}-2bS_y}{S_x}$

ID:(9442, 0)

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