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Método de Celdas de Boltzmann (LBM)
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El método de celdas de Boltzmann o lattice Boltzmann Model emplea un sistema de ecuaciones basados en la teoría de transporte de Boltzmann para calcular la velocidad de un fluido.
ID:(1030, 0)
Densidad
Ecuación
Si los parámetros se calculan con\\n\\n
$\chi = m c(\vec{x},t)$
y se promedia sobre la velocidad mediante
| $ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
se obtiene mediante la masa la estimación de la densidad mediante:
| $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8458, 0)
Velocidad de flujo
Ecuación
Si los parámetros se calculan con\\n\\n
$\chi_k = v_k$
promediando sobre la velocidad mediante
| $ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
\\n\\ny con\\n\\n
$c(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{1}{m}\rho(\vec{x},t)$
la velocidad del flujo se calcula integrando la función distribución de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las velocidades:
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8459, 0)
Temperatura
Ecuación
Con el teorema de equipartición en que\\n\\n
$\displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\displaystyle\frac{3}{2}k_B T$
\\n\\ncon el parámetro se calculan con\\n\\n
$\chi = T = \displaystyle\frac{m\vec{v}\cdot\vec{v}}{3k_B}=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{3R}\displaystyle\frac{c(\vec{x},t)}{\rho(\vec{x},t)}$
y se promedia promediando sobre la velocidad mediante
| $ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
y se considera el teorema de equipartición, la temperatura se podrá estimar integrando la energía cinética ponderada por la distribución de velocidad dividida por la constante de los gases:
| $T(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{3R\rho}\displaystyle\int (\vec{v}\cdot\vec{v})f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8460, 0)
Tensor de tensión
Ecuación
Si los parámetros se calculan con\\n\\n
$\chi = m c(\vec{x},t)(v_i-u_i)(v_j-u_j)$
y se promedia sobre la velocidad mediante
| $ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
el tensor del flujo se calcula integrando la función distribución de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las diferencias de velocidades:
| $\sigma_{ij} = m\displaystyle\int (v_i-u_i)(v_j-u_j)f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8461, 0)
Función de discretización
Ecuación
En el caso de la discretización en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente
| $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
en donde
ID:(8466, 0)
Densidad del Gas
Ecuación
Con la descritización
| $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
la ecuación
| $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
pasa a ser
| $\rho(\vec{x},t)=m\sum_if_i(\vec{x},t)$ |
ID:(8492, 0)
Densidad de momento del gas
Ecuación
Con la descritización
| $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
la ecuación
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
pasa a ser
| $\rho(\vec{x},t)\vec{u}(\vec{x},t)=m\sum_i\vec{e}_if_i(\vec{x},t)$ |
ID:(8493, 0)
Temperatura del Gas
Ecuación
Con la descritización
| $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
la ecuación
| $T(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{3R\rho}\displaystyle\int (\vec{v}\cdot\vec{v})f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
pasa a ser
| $T(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{m}{3R\rho}\sum_i(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_i)f_i(\vec{x},t)$ |
ID:(8897, 0)
Ecuación de Boltzmann
Ecuación
La función de Boltzmann describe el transporte de un sistema de partículas descrito por la función de distribución de velocidades:
| $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+v_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}=C(f)$ |
donde el termino
ID:(8462, 0)
Teoría de Grad de los 13 momentos
Ecuación
La distribución de velocidades se puede representar como un polinomio ortogoan de Hermite
| $f^N(\vec{x},\vec{v},t)=\omega(\vec{v})\displaystyle\sum_{n=0}^N\displaystyle\frac{1}{n!}a^{(n)}(\vec{x},t)\mathcal{H}(\vec{v})$ |
ID:(8463, 0)
Coeficiente de Orden 0
Ecuación
El coeficiente de orden cero es
| $a^{(0)}=\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}=\rho$ |
ID:(8464, 0)
Coeficiente de Orden 1
Ecuación
El coeficiente de orden cero es
| $a^{(1)}=\displaystyle\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}=\rho\vec{u}$ |
ID:(8465, 0)
Coeficientes
Ecuación
Los coeficientes son:
| $a^{(n)}(\vec{x},\vec{v},t)=\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)\mathcal{H}^{(n)}(\vec{v})d\vec{v}=\displaystyle\sum_if_i(\vec{x},t)\mathcal{H}^{(n)}(\vec{v})$ |
ID:(8467, 0)