Storyboard

>Modelo

ID:(291, 0)

Descripción

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Nosotros tenemos dos ojos de modo que somos capaces de estimar distancias y tener asi una percepción tridimensional.

ID:(433, 0)

Imagen

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Efecto de ver con dos ojos

Distancia

ID:(1818, 0)

Descripción

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Para modelar debemos diagramar la situación que se da con las imágenes en ambas retinas. Para ello estudiamos el comportamiento de dos haces en el plano formado entre objeto y las dos retinas.

Supongamos que las posiciones de la imagen en el ojo izquierdo y derecho son s_i y s_r respectivamente. Respecto del ojo, se puede definir la distancia entre el cristalino y la retina como f y la distancia entre los ojos con d. Por último se puede introducir una distancia r entre el objeto un punto entre ambos cristalinos y \theta el angulo en que se esta observando.

ID:(436, 0)

Imagen

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La posición de un objeto se percibe distinta por cada ojo. La imagen se forma en distintos puntos respecto del centro de la retina:

Forma como la imagen observada se percibe por cada ojo

De la diferencia en la posición somos capaces de determinar la posición que tiene el objeto respecto de nosotros.

ID:(1665, 0)

Descripción

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Por similitud de los triángulos se puede igualar la proporción de los triángulos del ojo izquierdo. En el caso del triangulo mayor los lados tienen largos F+d/2-s_l y f+D mientras que en el triangulo menor son F+d/2 y D. Por ello se tiene:

\displaystyle\frac{F+d/2-s_l}{f+D}=\displaystyle\frac{F+d/2}{D}

ID:(434, 0)

Descripción

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Por similitud de los triángulos se puede igualar la proporción de los triángulos del ojo derecho. En el caso del triangulo mayor los lados tienen largos F-d/2-s_r y f+D mientras que en el triangulo menor son F-d/2 y D. Por ello se tiene:

\displaystyle\frac{F-d/2-s_r}{f+D}=\displaystyle\frac{F-d/2}{D}

ID:(435, 0)

Ecuación

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De las ecuaciones del triangulo del ojo izquierdo y derecho se puede determinar la distancia del objeto en el plano de los ojos F. Despejando la distancia D en la ecuación de similitud de triángulos en el ojo derecho e introduciendo la en la del ojo izquierdo se obtiene:

Nota: se puede mostrar que la suma s_r-s_l es siempre positiva.

ID:(3424, 0)

Ecuación

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De las ecuaciones del triangulo del ojo izquierdo y derecho se puede determinar la distancia del objeto. De esta forma se obtiene que la distancia D es igual a la distancia entre los ojos d multiplicado por la distancia entre retina y cristalino f dividido por la suma de los desplazamientos de la imagen s_r-s_l:

Nota: se puede mostrar que la suma s_r-s_l es siempre positiva.

ID:(3190, 0)

Ecuación

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Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

ID:(3427, 0)

Ecuación

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Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

ID:(3425, 0)

Descripción

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El error de la estimación se puede calcular empelando las ecuaciones de propagación de incerteza sobre la expresión para el calculo de la distancia. Para simplificar el calculo se puede emplear la expresión para el caso que el objeto este frente a nosotros.

ID:(193, 0)

Ecuación

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Para simplificar la solución del modelo es recomendable evitar trabajar con el angulo \theta. Para ello se puede trabajar simplemente con los largos de las aristas del triangulo D y F formado por la distancia r y angulo \theta de la posición del objeto.

La distancia proyectada del objeto es

Dicho cambio corresponde pasar de coordenadas polares (r,\theta) a cartesianas en que la distancia D corresponde a la variable x y F a la coordenada y.

ID:(3423, 0)

Ecuación

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Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

ID:(3426, 0)

Ecuación

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Tanto la distancia entre ojos d como la distancia cristalino retina f son parámetros que varían poco por lo que nuestro cerebro es capaz de aprender a considerar sus efectos y minimizar su contribución al error de la estimación de la distancia. Por ello asumiremos que ambos errores son despreciables. Si ademas reemplazamos en la ecuación para el desplazamiento de la retina la expresión de la distancia se obtiene una relación entre el error de la estimación y la distancia:

Esto significa que el error aumenta con el cuadrado de la distancia.

ID:(3283, 0)

Ecuación

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Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

ID:(3268, 0)

Ecuación

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Para simplificar la solución del modelo es recomendable evitar trabajar con el angulo \theta. Para ello se puede trabajar simplemente con los largos de las aristas del triangulo D y F formado por la distancia r y angulo \theta de la posición del objeto.

La distancia perpendicular del Objeto es

Dicho cambio corresponde pasar de coordenadas polares (r,\theta) a cartesianas en que la distancia D corresponde a la variable x y F a la coordenada y.

ID:(3267, 0)

Ecuación

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Si el objeto se encuentra frente a nosotros, el desplazamiento observado en el ojo sera igual pero de signo opuesto al del desplazamiento en el ojo derecho (s=s_r=-s_i). Por ello la distancia se reduce a:

Como el ojo es de un tamaño finito, la distancia mínima que podemos medir esta determinado por el desplazamiento máximo s que se puede lograr. Si se asume que s puede llegar a un máximo de 1.6,cm y se recuerda que f es del orden de 1.67,cm y la distancia entre ojos d es del orden 6.5,cm se obtiene que r tiene que ser superior a 3.4,cm.

ID:(3271, 0)

Descripción

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Aun cuando existe una relación entre distancia de un objeto y el corrimiento de las imagenes en la retina no significa que nuestros ojos puedan determinar cualquier distancia. La limitante esta dada por el error que incluye la estimación. Si el error es demasiado grande la estimación puede carecer de todo sentido.

ID:(453, 0)

Descripción

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La incerteza de la posición de la imagen en la retina se puede asumida igual a la distancia entre conos.

Si se asume una distancia entre ojos d es de 6.5,cm y una distancia cristalino retina f es de 1.67,cm se obtiene que el error en la estimación de la distancia varia en función de la distancia par.

ID:(454, 0)

Imagen

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Capacidad de resolver en la retina

Estructura del ojo

ID:(1824, 0)

Ecuación

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Empleando la expresión para el calculo de la distancia del caso simple y la ecuación de propagación de errores se obtiene la expresión:

ID:(3282, 0)