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ID:(573, 0)

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En este caso se supone un padecimiento recesivo, es decir, que se requiere que la información genética tanto del padre como de la madre tenga la mutación. Cada persona tenemos dos alelos uno donado por el padre y otro por la madre, que se dividen en la reproducción (miosis) celular y cada uno trasmite a su descendencia solo uno de los dos alelos. Por ello depende de la situación de los padres si los descendientes son sanos, presentan la mutación sin o con mostrar los síntomas.

ID:(6835, 0)

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Para modelar debemos introducir el número de personas que nacen en un año t. Estas las describiremos con las letras minúsculas:

• $s(t)$ sanos nacidos en el año $t$.

• $p(t)$ portadores nacidos en el año $t$.

• $c(t)$ casos nacidos en el año $t$.

Su participación en el proceso de propagación de la enfermedad se dará recién cuando alcanzan la edad fértil \tau_i. Su participación cesará al momento que deje de participar en el proceso de procreación lo que ocurrirá a una edad \tau_f. Ambas edades se deben definir en función de las edades típicas en que la persona engendra descendientes.

Por ello el segunda tipo de variable que tenemos que introducir es el numero de personas en la edad en que procrean. Para un tiempo t deberemos considerar todos aquellos que nacieron entre un tiempo

• $t-\tau_f$ y

• $t-\tau_i$

Si no se consideran muertes prematuras se puede estimar el número que participan en el proceso de procrear como integrales sobre los nacimientos anuales entre ambos tiempos indicados.

ID:(8091, 0)

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El numero de personas que están procreando en un tiempo t se puede calcular con la integral de los nacimientos de sanos s(t), portadores p(t) y casos c(t) entre los tiempos t-\tau_f y t-\tau_i donde \tau_i es la edad en que se inicia y \tau_f en que termina la procreación.

Si se introduce el total de personas de un tipo que ha nacido a una fecha t se puede también estimar el numero que participa en el proceso de procreación restando al numero que existe en el tiempo t-\tau_i aquel que existía en el tiempo t-\tau_f.

En analogía se pueden denominar estas poblaciones acumuladas con las correspondientes letras mayúsculas:

* $S(t)$ suma de todos los sanos nacidos hasta el año $t$

* $P(t)$ suma de todos los portadores nacidos hasta el año $t$

* $C(t)$ suma de todos los casos nacidos hasta el año $t$

Hay que tener presente de que las poblaciones S, P y C incluyen la totalidad sin hacer distinción si continúan a la fecha t con vida o no. El hecho que incluyan a aquellos que ya murieron no constituye un problema dado que el numero que esta procreando se calcula con una resta en que la población ya fallecida se anula.

ID:(8092, 0)

Ecuación

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El número total de sanos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(6837, 0)

Ecuación

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El número total de portadores se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(8076, 0)

Ecuación

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El número total de casos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(8075, 0)

Ecuación

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El número total de sanos que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde S(t) es el número total de sanos nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8094, 0)

Ecuación

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El número total de portadores que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde P(t) es el número total de portadores nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8095, 0)

Ecuación

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El número total de casos que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde C(t) es el número total de casos nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8096, 0)

Ecuación

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El número total de personas que pueden procrear es la suma de los sanos \Delta S(t), portadores \Delta P(t) y casos \Delta C(t):

ID:(8107, 0)

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Si la formación de parejas no dependiente de la enfermedad, la formación de parejas se daría en la proporción de los posibles tipos de personas:

Proporción | Descripción

--------|--------------------

$\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta N}$ | Personas sanas

$\displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta N}$ | Personas portadores

$\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}$ | Personas casos

Si todos forman parejas se tendrá $\Delta N/2$ de estas. La probabilidad de que esta sea de un tipo es igual al producto de la proporciones respectivas. Estas se dan en las siguientes combinaciones:

\ | S | P | C

-------------|---|----|----

**S** | $\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N^2}$

**P** | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N^2}$

**C** | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N^2}$

Por ello el número de parejas según tipo serán

Tipo de pareja | Número

----------|--------------------

S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$

S-P | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

S-C | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$

P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$

P-C | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

Como tanto la formación de parejas como el número de niños que esta tenga si depende de la existencia de la enfermedad se pueden introducir seis constantes $K_{ss}$, $K_{sp}$, $K_{sc}$, $K_{pp}$, $K_{pc}$ y $K_{cc}$ de modo que el número de dependientes será

Tipo de pareja | Número de niños

----------|--------------------

S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$

S-P | $K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$

P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$

P-C | $K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

ID:(8093, 0)

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La diferencia entre portadores y casos es que ambos primeros presentan el defecto genético pero solo el segundo grupo muestra los síntomas de la enfermedad.

La propagación en este caso ocurre mediante la procreación. Según los padres sean S, P o C los hijos pueden terminar con alguna de las probabilidades de que los hijos sean del tipo S, P o C:

| Tipo de pareja | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |

|:----------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|

| S-S | 1.00 | - | - |

| P-P | 0.25 | 0.50 | 0.25 |

| C-C | - | - | 1.00 |

| S-P | 0.50 | 0.50 | - |

| S-C | - | 1.00 | - |

| P-C | - | 0.50 | 0.50 |

Consierando la cantidad de niños por años que se puede esperar en cada tipo y la tabla anterior que indica como se distribuyen los restado

| Tipo de pareja | Cálculo | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |

|:----------:|:--------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|

| S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$ | $1$ | - | - |

| P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |

| C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$ | - | - | $1$ |

| S-P | $K_{sa}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | - |

| S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$ | - | $1$ | - |

| P-C | $K_{ac}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ | - | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ |

donde el factor 2 en los tres últimos términos se debe a la simetría entre hombre y mujer (ej. en AC el hombre puede ser el portador pero también la mujer por lo que hay dos casos).

Con estas estimaciones y la tabla de proporciones entre los descendientes lleva a que el número de nacimientos sanos por tiempo es:

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

de los portadores

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

y de los casos

$\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

Hay que tener presente que estas expresiones estiman el incremento de las poblaciones de susceptibles, portadores y casos en un tiempo $t$ con las poblaciones que se encuentran en las etapas fértiles. Si se supone que la etapa fértil se inicia a una edad $t_i$ y termina a una edad $t_f$ los $S$, $A$ y $C$ corresponden a la suma de todos aquellos que se encuentren en dicho rango de edad, es decir nacidos en un tiempo entre $t-t_f$ y $t-t_i$.

ID:(4070, 0)

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A diferencia de los modelos tradicionales tipo SIR (Suceptibles-Infectados-Recuperados) en el caso genético la persona deja de contribuir a la propagación al momento que pierde la fertilidad. Por ello la evolución de las poblaciones de sanos S, portadores P y casos C deben ser calculados siempre de las poblaciones en el rango fértil.

ID:(6836, 0)

Ecuación

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El número de sanos s que nace en el tiempo t se calcula de los niños que nazcan de las poblaciones fértiles totales de susceptibles \Delta S, portadores \Delta P y casos \Delta C existentes en el tiempo t. Por ello la ecuación para los susceptibles que nacen en t es:

K_{ss} son los niños por año de parejas en que ambos son sanos, K_{pp} son los niños por año de parejas en que ambos son portadores y K_{sp} los niños por año de parejas en que un miembro es sano y el otro portador.

ID:(6848, 0)

Ecuación

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El número de portadores p que nace en el tiempo t se calcula de los niños que nazcan de las poblaciones fértiles totales de susceptibles \Delta S, portadores \Delta P y casos \Delta C existentes en el tiempo t. Por ello la ecuación para los susceptibles que nacen en t es:

con S el número de sanos, C el número de casos. K_{pp} son los niños por año de parejas en que ambos son portadores, K_{sp} son los niños por año de parejas en que un miembro es sano y el otro portador, K_{sc} son los niños por año de parejas en que un miembro es sano y el otro caso y K_{pc} son los niños por año de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

ID:(6849, 0)

Ecuación

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El número de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de los niños que nazcan de las poblaciones fértiles totales de susceptibles $S$, portadores $P$ y casos $C$ existentes en el tiempo $t$. Por ello la ecuación para los susceptibles que nacen en $t$ es:

con $S$ el número de sanos, $P$ el número de portadores, $K_{ss}$ los niños por año de parejas en que ambos son sanos, $K_{pp}$ los niños por año de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los niños por año de parejas en que ambos son casos y $K_{pc}$ son los niños por año de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

ID:(6850, 0)

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La introducción de los distintos K's supone que las distintas parejas muestran un comportamiento distinto teniendo distinta cantidad de descendientes dependiente de su situación genética.\\n\\nSi se supone que las personas solo cambian su actitud en la medida que existen síntomas visibles se tendrían tres grupos:\\n\\n* Ambos progenitores no muestran síntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SS$, $SP$ y $PP$.\\n* Uno de los progenitores presenta síntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SC$ y $PC$.\\n* Ambos progenitores muestran los sintomas. Esto se daría solo en las parejas del tipo $CC$.\\n\\nLa constante asociada a la primera situacion la podemos denominar $K_s$ y se tendria que\\n\\n

$K_s=K_{ss}=K_{sp}=K_{pp}$

\\n\\nLa constante asociada a la segunda situación se puede denominar $K_p$ y en general será\\n\\n

$K_p=K_{sc}=K_{pc}$

\\n\\nPor simetría se introduce ademas la constante $K_c$ de modo que el factor de las parejas $K_{cc}$ es\\n\\n

$K_c=K_{cc}$

ID:(8080, 0)

Ecuación

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En el modelo general el número de sanos s que nace en el tiempo t se calcula de:

que con

que en el caso simplificado se reduce a

ID:(8077, 0)

Ecuación

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En el modelo general el número de portadores a que nace en el tiempo t se calcula de:

que con

que en el caso simplificado se reduce a

ID:(8078, 0)

Ecuación

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En el modelo general el número de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de:

que con

que en el caso simplificado se reduce a

ID:(8079, 0)