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ID:(573, 0)

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In this case, a recessive condition is assumed, that is, the genetic information of both the father and the mother is required to have the mutation. Each person has two alleles, one donated by the father and the other by the mother, which are divided into cellular reproduction (miosis) and each transmits only one of the two alleles to their offspring. Therefore it depends on the situation of the parents if the descendants are healthy, they present the mutation without or with showing the symptoms.

ID:(6835, 0)

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To model we must enter the number of people born in a year t. We will describe these in lowercase letters:

• $s(t)$ healthy born in the year $t$.

• $p(t)$ carriers born in the year $t$.

• $c(t)$ cases born in the year $t$.

Their participation in the process of spreading the disease will only take place when they reach fertile age \tau_i. Your participation will cease the moment you stop participating in the procreation process, which will happen at an \tau_f age. Both ages must be defined based on the typical ages at which the person generates offspring.

Therefore, the second type of variable that we have to introduce is the number of people in the age in which they procreate. For a time t we must consider all those who were born between a time

• $t-\tau_f$ y

• $t-\tau_i$

If premature deaths are not considered, the number that participate in the procreating process can be estimated as integral over the annual births between both times indicated.

ID:(8091, 0)

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El numero de personas que están procreando en un tiempo t se puede calcular con la integral de los nacimientos de sanos s(t), portadores p(t) y casos c(t) entre los tiempos t-\tau_f y t-\tau_i donde \tau_i es la edad en que se inicia y \tau_f en que termina la procreación.

Si se introduce el total de personas de un tipo que ha nacido a una fecha t se puede también estimar el numero que participa en el proceso de procreación restando al numero que existe en el tiempo t-\tau_i aquel que existía en el tiempo t-\tau_f.

En analogía se pueden denominar estas poblaciones acumuladas con las correspondientes letras mayúsculas:

* $S(t)$ suma de todos los sanos nacidos hasta el año $t$

* $P(t)$ suma de todos los portadores nacidos hasta el año $t$

* $C(t)$ suma de todos los casos nacidos hasta el año $t$

Hay que tener presente de que las poblaciones S, P y C incluyen la totalidad sin hacer distinción si continúan a la fecha t con vida o no. El hecho que incluyan a aquellos que ya murieron no constituye un problema dado que el numero que esta procreando se calcula con una resta en que la población ya fallecida se anula.

ID:(8092, 0)

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El número total de sanos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(6837, 0)

Equation

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El número total de portadores se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(8076, 0)

Equation

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El número total de casos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

ID:(8075, 0)

Equation

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El número total de sanos que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde S(t) es el número total de sanos nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8094, 0)

Equation

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El número total de portadores que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde P(t) es el número total de portadores nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8095, 0)

Equation

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El número total de casos que están procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su número será:

donde C(t) es el número total de casos nacidos hasta el tiempo t.

ID:(8096, 0)

Equation

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El número total de personas que pueden procrear es la suma de los sanos \Delta S(t), portadores \Delta P(t) y casos \Delta C(t):

ID:(8107, 0)

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Si la formación de parejas no dependiente de la enfermedad, la formación de parejas se daría en la proporción de los posibles tipos de personas:

Proporción | Descripción

--------|--------------------

$\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta N}$ | Personas sanas

$\displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta N}$ | Personas portadores

$\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}$ | Personas casos

Si todos forman parejas se tendrá $\Delta N/2$ de estas. La probabilidad de que esta sea de un tipo es igual al producto de la proporciones respectivas. Estas se dan en las siguientes combinaciones:

\ | S | P | C

-------------|---|----|----

**S** | $\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N^2}$

**P** | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N^2}$

**C** | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N^2}$

Por ello el número de parejas según tipo serán

Tipo de pareja | Número

----------|--------------------

S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$

S-P | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

S-C | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$

P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$

P-C | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

Como tanto la formación de parejas como el número de niños que esta tenga si depende de la existencia de la enfermedad se pueden introducir seis constantes $K_{ss}$, $K_{sp}$, $K_{sc}$, $K_{pp}$, $K_{pc}$ y $K_{cc}$ de modo que el número de dependientes será

Tipo de pareja | Número de niños

----------|--------------------

S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$

S-P | $K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$

P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$

P-C | $K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

ID:(8093, 0)

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La diferencia entre portadores y casos es que ambos primeros presentan el defecto genético pero solo el segundo grupo muestra los síntomas de la enfermedad.

La propagación en este caso ocurre mediante la procreación. Según los padres sean S, P o C los hijos pueden terminar con alguna de las probabilidades de que los hijos sean del tipo S, P o C:

| Tipo de pareja | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |

|:----------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|

| S-S | 1.00 | - | - |

| P-P | 0.25 | 0.50 | 0.25 |

| C-C | - | - | 1.00 |

| S-P | 0.50 | 0.50 | - |

| S-C | - | 1.00 | - |

| P-C | - | 0.50 | 0.50 |

Consierando la cantidad de niños por años que se puede esperar en cada tipo y la tabla anterior que indica como se distribuyen los restado

| Tipo de pareja | Cálculo | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |

|:----------:|:--------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|

| S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$ | $1$ | - | - |

| P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |

| C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$ | - | - | $1$ |

| S-P | $K_{sa}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | - |

| S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$ | - | $1$ | - |

| P-C | $K_{ac}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ | - | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ |

donde el factor 2 en los tres últimos términos se debe a la simetría entre hombre y mujer (ej. en AC el hombre puede ser el portador pero también la mujer por lo que hay dos casos).

Con estas estimaciones y la tabla de proporciones entre los descendientes lleva a que el número de nacimientos sanos por tiempo es:

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

de los portadores

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

y de los casos

$\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

Hay que tener presente que estas expresiones estiman el incremento de las poblaciones de susceptibles, portadores y casos en un tiempo $t$ con las poblaciones que se encuentran en las etapas fértiles. Si se supone que la etapa fértil se inicia a una edad $t_i$ y termina a una edad $t_f$ los $S$, $A$ y $C$ corresponden a la suma de todos aquellos que se encuentren en dicho rango de edad, es decir nacidos en un tiempo entre $t-t_f$ y $t-t_i$.

ID:(4070, 0)

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A diferencia de los modelos tradicionales tipo SIR (Suceptibles-Infectados-Recuperados) en el caso genético la persona deja de contribuir a la propagación al momento que pierde la fertilidad. Por ello la evolución de las poblaciones de sanos S, portadores P y casos C deben ser calculados siempre de las poblaciones en el rango fértil.

ID:(6836, 0)

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The number of healthy s born at time t is calculated from children born from the total fertile populations of susceptible \ Delta S , \ Delta P carriers and \ Delta C cases existing in t time. Therefore, the equation for susceptibles born in t is:

K_ {ss} are the children per year of couples in which both are healthy, K_ {pp} are the children per year of couples in which both are carriers and K_ {sp} children per year of couples in which one member is healthy and the other is a carrier.

ID:(6848, 0)

Equation

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The number of p carriers born at time t is calculated from children born from the total fertile populations of susceptible \ Delta S , \ Delta P carriers and \ Delta C cases existing in t time. Therefore, the equation for susceptibles born in t is:

with S the number of healthy, C the number of cases. K_ {pp} are the children per year of couples in which both are carriers, K_ {sp} are the children per year of couples in which a member is healthy and the another carrier, K_ {sc} are the children per year of couples in which one member is healthy and the other case and K_ {pc} are the children per year of couples in which one member is a carrier and the other case.

ID:(6849, 0)

Equation

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El número de casos $C$ varia en función de los nacimientos de niños que presentan la mutaciones y sintomas menos aquellos que mueren en el periodo:

$\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{P^2}{N}+K_{cc}\displaystyle\frac{C^2}{N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{PC}{N} - b_cC$

con $S$ el número de sanos, $P$ el número de portadores, $K_{ss}$ los niños por año de parejas en que ambos son sanos, $K_{pp}$ los niños por año de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los niños por año de parejas en que ambos son casos y $K_{pc}$ son los niños por año de parejas en que un miembro es portador y el otro caso. $b_c$ es la probabilidad de muerte por año de personas caso.

ID:(6850, 0)

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La introducción de los distintos K's supone que las distintas parejas muestran un comportamiento distinto teniendo distinta cantidad de descendientes dependiente de su situación genética.\\n\\nSi se supone que las personas solo cambian su actitud en la medida que existen síntomas visibles se tendrían tres grupos:\\n\\n* Ambos progenitores no muestran síntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SS$, $SP$ y $PP$.\\n* Uno de los progenitores presenta síntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SC$ y $PC$.\\n* Ambos progenitores muestran los sintomas. Esto se daría solo en las parejas del tipo $CC$.\\n\\nLa constante asociada a la primera situacion la podemos denominar $K_s$ y se tendria que\\n\\n

$K_s=K_{ss}=K_{sp}=K_{pp}$

\\n\\nLa constante asociada a la segunda situación se puede denominar $K_p$ y en general será\\n\\n

$K_p=K_{sc}=K_{pc}$

\\n\\nPor simetría se introduce ademas la constante $K_c$ de modo que el factor de las parejas $K_{cc}$ es\\n\\n

$K_c=K_{cc}$

ID:(8080, 0)

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In the general model, the number of healthy s that is born in time t is calculated from:

what with

which in the simplified case is reduced to

ID:(8077, 0)

Equation

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In the general model, the number of carriers a that is born in time t is calculated from:

what with

which in the simplified case is reduced to

ID:(8078, 0)

Equation

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El número de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de los niños que nazcan de las poblaciones fértiles totales de susceptibles $S$, portadores $A$ y casos $C$ existentes en el tiempo $t$. Por ello la ecuación para los susceptibles que nacen en $t$ es:

$\displaystyle\frac{dc}{dt}=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{K_{aa}}{2N}A^2+\displaystyle\frac{K_{cc}}{2N}C^2+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K_{ac}}{N}AC$

con $S$ el número de sanos, $A$ el número de portadores, $K_{ss}$ los niños por año de parejas en que ambos son sanos, $K_{aa}$ los niños por año de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los niños por año de parejas en que ambos son casos y $K_{ac}$ son los niños por año de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

ID:(8079, 0)