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Desarrollo de población sana
Ecuación 
En caso de que no existan portadores ni casos la ecuación de desarrollo de la población sana
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}\right)$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nse reduce a\\n\\n
$\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\Delta S$
con $\Delta S$ igual a
| $\Delta S(t) = S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f)$ |
por lo que la evolución se rige por la ecuación:
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
ID:(8073, 0)
Tendencia del desarrollo de los sanos
Ecuación
La ecuación de desarrollo de los sanos
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
tiene soluciones de la forma
| $S(t)=S(0)e^{+\lambda t}$ |
ID:(8074, 0)
Condición de crecimiento de sanos
Ecuación
La ecuación
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
es una solución de la ecuación
| $S(t)=S(0)e^{+\lambda t}$ |
si el factor $\lambda$ satisface
| $\lambda=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(e^{-\lambda\tau_i}-e^{-\lambda\tau_f}\right)$ |
ID:(8189, 0)
Valores aproximados de Lambda
Ecuación
Si se supone que $\lambda\tau_i\ll 1$ y $\lambda\tau_f\ll 1$ los exponenciales en
| $\lambda=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(e^{-\lambda\tau_i}-e^{-\lambda\tau_f}\right)$ |
pueden desarrollarse hasta el segundo orden obteneindose una ecuación para $\lambda$
| $\lambda=\displaystyle\frac{2(K_s(\tau_f-\tau_i)-2)}{K_s(\tau_f^2-\tau_i^2)}$ |
ID:(8190, 0)
Desarrollo controlado
Ecuación
El factor
| $\lambda=\displaystyle\frac{2(K_s(\tau_f-\tau_i)-2)}{K_s(\tau_f^2-\tau_i^2)}$ |
puede tanto ser positivo (crecimiento exponencial) como negativo (decrecimiento exponencial). El límite ocurre cuando el factor de procreación $K_s$ alcanza el valor
| $K_s=\displaystyle\frac{2}{\tau_f-\tau_i}$ |
Si se asume que la edades de inicio de procreación $\tau_i\sim 18$ años y finaliza en $\tau_f\sim 40$ años se obtiene un $K_s\sim 0.091$.
ID:(8172, 0)
Desarrollo de población portadora
Ecuación
En caso de la población portadora la población se desarrolla según
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nEn el límite de bajo numero de portadores (ejemplo existe uno solo inicial) se tendrá que\\n\\n$S\gg P$, $\Delta S\gg \Delta P$ y $\Delta N\sim\Delta S$\\n\\npor lo que la evolución de los portadores es inicialmente\\n\\n
$\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\Delta P$
Como el número de portadores que esta procreando es
| $\Delta P(t) = P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f)$ |
se tiene que la ecuación de desarrollo de los portadores es
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))$ |
ID:(8170, 0)
Tendencia del desarrollo de los portadores
Ecuación
La ecuación de los portadores
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))$ |
es estructuralemente igual a
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
por lo que la solución debe ser de la forma
| $P(t)=P(0)e^{+\lambda t}$ |
con el mismo $\lambda$ de la ecuación de crecimiento de la población sana.
ID:(8171, 0)
Desarrollo de población casos
Ecuación
En caso de la población de casos la población se desarrolla según
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_c\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_p\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nEn el límite de bajo numero de portadores y casos (ejemplo existe uno solo inicial) se tendrá que\\n\\n$S\gg P$, $P\gg C$, $\Delta S\gg \Delta P$, $\Delta P\gg \Delta C$ y $\Delta N\sim\Delta S$\\n\\npor lo que la evolución de los portadores es inicialmente\\n\\n
$\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
Como el número de casos que esta procreando es
| $\Delta P(t) = P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f)$ |
se tiene que la ecuación de desarrollo de los portadores es
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))^2$ |
ID:(8191, 0)
Tendencia del desarrollo de los casos
Ecuación
La ecuación de los casos
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))^2$ |
y la solución para los portadores
| $P(t)=P(0)e^{+\lambda t}$ |
y con
| $\lambda=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(e^{-\lambda\tau_i}-e^{-\lambda\tau_f}\right)$ |
la población de casos se desarrollara como
| $C(t)=C_0+P(0)^2\displaystyle\frac{\lambda}{4K_s}e^{+2\lambda t}$ |
con el mismo $\lambda$ de la ecuación de crecimiento de la población sana.
ID:(8192, 0)
Problemas del modelo
Descripción
Las soluciones obtenidas presentan dos problemas:
* Todas las poblaciones crecen o decrecen en forma exponencial lo cual no corresponde a la evolución observada. Las evoluciones para la población sana presenta mas bien tasas aproximadamente constantes.
* Cuando aparecen deficiencias genéticas estas crecen en una proporción mayor a la que crece la población en si.
Esto significa que el modelo de desarrollo proporcional no es adecuado. El comportamiento mas bien muestra que las personas forman redes del tipo fractal en que el crecimiento de la red no es proporcional al total de miembros que se consideran si no que a una potencia fraccional de esta.
Esto se puede modelar suponiendo que las dinámicas sociales son por subgrupos en que:
* Los subgrupos tiene un numero constante de miembros en el tiempo. El crecimiento de la población debe llevar a migración/formación de nuevos subgrupos.
* Dentro del subgrupos los miembros presentan el comportamiento de los modelos SIR o SPC con la limitante de que el número total no varia como efecto de la migración o formación de nuevos subgrupos.
* Los contactos entre subgrupos se limitan a algunos pocos miembros por lo que la propagación al resto de la población es lenta.
ID:(8193, 0)
Simulación sin subgrupos
Html
El simulador permite jugar distintos escenarios y ver como el modelo se comporta. A modo de ejemplo se puede ver:
* en $K_s\sim 0.095$ el crecimiento de la población acumulada crece linealmente en el tiempo por lo que la tasa de crecimiento de la población es constante
* si $K_s > 0.095$ el crecimiento de la población acumulada es tal que la tasa de crecimiento a su vez crece
* si $K_s < 0.095$ el crecimiento de la población acumulada es tal que la tasa de crecimiento decrece
* en general la proporción entre sanos y portadores mantiene una misma proporción
* en general la población de casos es totalmente despreciable por efecto de que en todas las situaciones los portadores se diluyen en la población total
* las oscilaciones iniciales en la población portadora en el numero de nacimientos anuales se debe a lo discreto del rango de edad en que se realiza procreación (al llegar el individuo portador inicial a su edad en que de deja de procrear el número de procreadores activos varia en forma dramática).
ID:(8173, 0)