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Healthy population development
Equation 
En caso de que no existan portadores ni casos la ecuación de desarrollo de la población sana
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}\right)$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nse reduce a\\n\\n
$\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\Delta S$
con $\Delta S$ igual a
| $\Delta S(t) = S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f)$ |
por lo que la evolución se rige por la ecuación:
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
ID:(8073, 0)
Healthy development trend
Equation
La ecuación de desarrollo de los sanos
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
tiene soluciones de la forma
| $S(t)=S(0)e^{+\lambda t}$ |
ID:(8074, 0)
Healthy growth condition
Equation
La ecuación
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
es una solución de la ecuación
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
si el factor $\lambda$ satisface
| $\lambda=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(e^{-\lambda\tau_i}-e^{-\lambda\tau_f}\right)$ |
ID:(8189, 0)
Lambda approximate values
Equation
Si se supone que $\lambda\tau_i\ll 1$ y $\lambda\tau_f\ll 1$
los exponenciales en
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
pueden desarrollarse hasta el segundo orden obteneindose una ecuación para $\lambda$
| $\lambda=\displaystyle\frac{2(K_s(\tau_f-\tau_i)-2)}{K_s(\tau_f^2-\tau_i^2)}$ |
ID:(8190, 0)
Controlled development
Equation
El factor
| $\lambda=\displaystyle\frac{2(K_s(\tau_f-\tau_i)-2)}{K_s(\tau_f^2-\tau_i^2)}$ |
puede tanto ser positivo (crecimiento exponencial) como negativo (decrecimiento exponencial). El límite ocurre cuando el factor de procreación $K_s$ alcanza el valor
| $K_s=\displaystyle\frac{2}{\tau_f-\tau_i}$ |
Si se asume que la edades de inicio de procreación $\tau_i\sim 18$ años y finaliza en $\tau_f\sim 40$ años se obtiene un $K_s\sim 0.091$.
ID:(8172, 0)
Carrier population development
Equation
En caso de la población portadora la población se desarrolla según
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nEn el límite de bajo numero de portadores (ejemplo existe uno solo inicial) se tendrá que\\n\\n$S\gg P$, $\Delta S\gg \Delta P$ y $\Delta N\sim\Delta S$\\n\\npor lo que la evolución de los portadores es inicialmente\\n\\n
$\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\Delta P$
Esta ecuación es análoga a la estudiada para el caso de las poblaciones sanas por lo que se puede reducir a
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))$ |
ID:(8170, 0)
Development trend of carriers
Equation
La ecuación de los portadores
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))$ |
es estructuralemente igual a
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
por lo que la solución debe ser de la forma
| $P(t)=P(0)e^{+\lambda t}$ |
con el mismo $\lambda$ de la ecuación de crecimiento de la población sana.
ID:(8171, 0)
Population development cases
Equation
En caso de la población de casos la población se desarrolla según
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_c\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_p\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ |
con
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
\\n\\nEn el límite de bajo numero de portadores y casos (ejemplo existe uno solo inicial) se tendrá que\\n\\n$S\gg P$, $P\gg C$, $\Delta S\gg \Delta P$, $\Delta P\gg \Delta C$ y $\Delta N\sim\Delta S$\\n\\npor lo que la evolución de los portadores es inicialmente\\n\\n
$\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
Como el número de casos que esta procreando es
| $\Delta P(t) = P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f)$ |
se tiene que la ecuación de desarrollo de los portadores es
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))^2$ |
ID:(8191, 0)
Case development trend
Equation
La ecuación de los portadores
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f))$ |
es estructuralemente igual a
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s(S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f))$ |
por lo que la solución debe ser de la forma
| $C(t)=C_0+P(0)^2\displaystyle\frac{\lambda}{4K_s}e^{+2\lambda t}$ |
con el mismo $\lambda$ de la ecuación de crecimiento de la población sana.
ID:(8192, 0)
Model problems
Description
El principal problema del modelo SPC tal como se formulo es que los portadores crecen en la misma medida que la población general manteniendo la proprocon que es inicalmente casi insignificante. Algo parecdio ocurre con los casos.
Por ello si un portador en un poblado pequeño (ej. 250 nacimientos anuales) reperenta una fracción de un porcentaje (ej.
La causa de este compórtamiento es el hecho de que el modelo asume que la población $\Delta N$ de personas que procrean considera la fracción correspondiente de toda la población.
ID:(8193, 0)
Simulation without subgroups
Html
El simulador permite jugar distintos escenarios y ver como el modelo se comporta. A modo de ejemplo se puede ver:
* en $K_s\sim 0.095$ el crecimiento de la población acumulada crece linealmente en el tiempo por lo que la tasa de crecimiento de la población es constante
* si $K_s > 0.095$ el crecimiento de la población acumulada es tal que la tasa de crecimiento a su vez crece
* si $K_s < 0.095$ el crecimiento de la población acumulada es tal que la tasa de crecimiento decrece
* en general la proporción entre sanos y portadores mantiene una misma proporción
* en general la población de casos es totalmente despreciable por efecto de que en todas las situaciones los portadores se diluyen en la población total
* las oscilaciones iniciales en la población portadora en el numero de nacimientos anuales se debe a lo discreto del rango de edad en que se realiza procreación (al llegar el individuo portador inicial a su edad en que de deja de procrear el número de procreadores activos varia en forma dramática).
ID:(8173, 0)