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Temperaturentwicklung
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Die Temperatur im Boden entwickelt sich in Abhängigkeit von der Oberflächentemperatur und der mittleren Temperatur in der Tiefe. Die Wärmeleitfähigkeit und die spezifische Wärmekapazität des Bodens bestimmen die Tiefe, auf der die mittlere Temperatur erreicht wird.
ID:(2051, 0)
Temperaturentwicklung
Beschreibung
Die Temperatur im Boden entwickelt sich in Abhängigkeit von der Oberflächentemperatur und der mittleren Temperatur in der Tiefe. Die Wärmeleitfähigkeit und die spezifische Wärmekapazität des Bodens bestimmen die Tiefe, auf der die mittlere Temperatur erreicht wird.
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Gleichungen
Da die Wärme transportiert ($dQ$) eine Funktion von der Leitungslänge ($L$), die Abschnitt ($S$), die Zeitvariation ($dt$), die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) gem folgender Gleichung ist:
| $ q = \displaystyle\frac{ \lambda }{ L } \Delta T_0 $ |
Mit der Gleichung f r die Wärmestromrate ($q$) definiert als:
| $ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$ |
Im infinitesimalen Fall, in dem der Leitungslänge ($L$) zu eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) wird und die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) zu die Temperaturschwankungen ($dT$) wird, vereinfacht sich die Gleichung zu:
| $ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$ |
(ID 15132)
Die Menge von die Wärme transportiert ($dQ$) durch eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) kann mithilfe von die Wärmestromrate ($q$) und die Zeitvariation ($dt$) mit die Abschnitt ($S$) durch folgende Gleichung berechnet werden:
$dQ = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(q S dt) dz$
Da die Wärmestromrate ($q$) mit die Temperaturschwankungen ($dT$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) definiert ist als:
| $ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$ |
Daher gilt:
$dQ = \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}) S dz dt$
Andererseits k nnen wir die Der Flüssigkeit oder dem Feststoff zugeführte Wärme ($\Delta Q$) mit die Masse ($M$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) durch die Gleichung verkn pfen:
| $ \Delta Q = M c \Delta T$ |
In diesem Fall, mit die Volumenvariation ($\Delta V$), wird die Gleichung zu:
$dQ=\rho dV c dT = \rho c S dz dT$
Und schlie lich erhalten wir:
| $ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$ |
(ID 15134)
Wie die Wärmestromrate ($q$) zusammen mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die Bodentemperatur ($T$) und die Tiefe ($z$) ergibt
| $ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$ |
F r die L sung von die Bodentemperatur ($T$) mit die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$):
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Dies wird an der Oberfl che ($z=0$) und ohne Phasenverschiebung ($t_0=0$) erhalten:
| $ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$ |
(ID 15138)
Die Wärmestromrate ($q$) als Funktion von die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), der Zeit ($t$) und die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) wird durch folgende Gleichung dargestellt:
| $ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$ |
Diese repr sentiert den Gesamtfluss, der durch den Bereich ber dem Boden und dem Boden selbst flie t. Im ersten Fall betr gt der Fluss aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen der Umgebung und der Bodenoberfl che der Durchgangskoeffizient ($\alpha$). F r die Situation, in der der Zeit ($t$) gleich die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) ist, kann der Fluss im Bereich ber dem Boden wie folgt beschrieben werden:
$\alpha \left(\displaystyle\frac{\Delta T_m}{2}-\displaystyle\frac{\Delta T_s}{2}\right) = \displaystyle\frac{\lambda \Delta T_s}{2 d_m}$
Wenn wir nach die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$) aufl sen, erhalten wir:
| $ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $ |
(ID 15139)
Beispiele
(ID 15208)
Wenn wir die L sung f r die Bodentemperatur ($T$) ber die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) mithilfe von die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) grafisch darstellen, ergibt sich:
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Dies ergibt eine Kurve, die an der Oberfl che ($z=0$) das Maximum des Sommers und das Minimum des Winters in der Temperatur zeigt. Die Temperatur konvergiert dann mit zunehmender Tiefe zur Durchschnittstemperatur und bleibt konstant. Dar ber hinaus gibt es einen Tr gheitseffekt im System:
(ID 15137)
(ID 15230)
Die Wärmestromrate ($q$) wird in Abh ngigkeit von die Wärme transportiert ($dQ$), die Zeitvariation ($dt$) und die Abschnitt ($S$) wie folgt definiert:
| $ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$ |
(ID 15133)
F r einen Leiter mit den Werten der Leitungslänge ($L$) und die Abschnitt ($S$) beschreibt der Fluss von die Wärme transportiert ($dQ$) unter die Zeitvariation ($dt$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) sich wie folgt:
| $ q = \displaystyle\frac{ \lambda }{ L } \Delta T_0 $ |
Im infinitesimalen Fall, in dem der Leitungslänge ($L$) zu eine Zurückgelegte Strecke ($dz$) wird und die Temperaturunterschied im Leiter ($\Delta T_0$) zu die Temperaturschwankungen ($dT$) wird, vereinfacht sich die Gleichung f r die Wärmestromrate ($q$) zu:
| $ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$ |
[1] "Th orie analytique de la chaleur" (Die analytische Theorie der W rme), Joseph Fourier, Cambridge University Press (2009) (Original von 1822)
(ID 15132)
Die Definition von die Wärmestromrate ($q$) erfolgt unter Verwendung von die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Temperaturschwankungen ($dT$) in Abh ngigkeit von die Zurückgelegte Strecke ($dz$) durch folgende Gleichung:
| $ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$ |
Durch die Untersuchung des W rmeflusses erhalten wir die Gleichung f r die Absolute Temperatur ($T$) in Abh ngigkeit von die Positionieren Sie entlang einer Achse ($z$), der Zeit ($t$) und die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), die zu der Spezifische Wärme ($c$) wird. Die Gleichung f r die Dichte ($\rho$) vereinfacht sich zu:
| $ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$ |
(ID 15134)
Wenn wir davon ausgehen, dass die Oberfl chentemperatur schnelle t gliche Schwankungen und eine langsame j hrliche Variation erf hrt und dass die Tr gheit des Systems verhindert, dass die t glichen Schwankungen den Boden beeinflussen, k nnen wir die Bodentemperatur ($T$) als Funktion von die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) im Laufe des Jahres sch tzen, indem wir die L sung der folgenden Gleichung verwenden:
| $ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$ |
wobei die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Dichte ($\rho$) sind. Daher ergibt sich die L sung mit die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) wie folgt:
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Der Wert von die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) wird in der Regel verwendet, um die L sung an die entsprechende Hemisph re anzupassen. In diesem Zusammenhang ist die Phasenverschiebung auf der Nordhalbkugel nahezu null, w hrend sie auf der S dhalbkugel etwa ein halbes Jahr betr gt.
(ID 15135)
Die L sung f r die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) wird unter Verwendung von die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$) erhalten, was zu folgendem Ergebnis f hrt:
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Diese L sung l st die Leitungsgleichung, wenn die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) gleich die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$), der Spezifische Wärme ($c$) und die Dichte ($\rho$) ist, mittels:
| $ d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}$ |
(ID 15136)
Um die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) zu l sen, verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), was zu f hrt:
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Dies erm glicht uns, den W rmefluss an der Oberfl che zu berechnen, wenn die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) als Null angenommen wird und mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) mittels:
| $ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$ |
(ID 15138)
Um die Bodentemperatur ($T$) in die Tiefe ($z$) und der Zeit ($t$) zu l sen, verwenden wir die Durchschnittliche Umwelttemperatur ($T_m$), die Jährliche Temperaturschwankung im Boden ($\Delta T_s$), die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$), die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($\omega_m$), was zu f hrt:
| $ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$ |
Dies erm glicht uns, den W rmefluss an der Oberfl che zu berechnen, wenn die Zeit Phasenverschiebung ($t_0$) als Null angenommen wird und mit die Wärmeleitfähigkeit ($\lambda$) und die Durchschnittliche Variationstiefe ($d_m$) mittels:
| $ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $ |
(ID 15139)
ID:(2051, 0)