Une autre quation utile est celle correspondant la conservation de l' nergie, qui s'applique dans les cas o la viscosit , un processus entra nant une perte d' nergie, peut tre n glig e. Si l'on consid re l' quation classique de l' nergie $E$, qui prend en compte l\' nergie cin tique, l\' nergie potentielle gravitationnelle et une force externe d pla ant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la mani re suivante :

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Si l\'on consid re l\' nergie l\'int rieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Et puisque la pression est donn e par :

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

On obtient l\' quation de la densit d\' nergie :

(ID 3159)

Quand une a différence de pression ($\Delta p_s$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du tube ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle g n re une force repr sent e par :

$\pi r^2 \Delta p$

Cette force pousse le liquide contre la r sistance visqueuse, donn e par :



En galant ces deux forces, nous obtenons :

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Ce qui nous conduit l' quation :

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Si nous int grons cette quation d'une position d finie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord o se trouve le rayon du tube ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :



O :



est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l' coulement.

(ID 3627)

(ID 3628)

Si nous supposons que a densité d'énergie ($e$) est conserv , alors pour une cellule o la vitesse moyenne est a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), la densit est a densité ($\rho$), la pression est a pression de la colonne d'eau ($p$), la hauteur est a hauteur de la colonne ($h$), et l'acc l ration gravitationnelle est a accélération gravitationnelle ($g$), nous avons ce qui suit :

En un point 1, cette quation sera gale la m me quation en un point 2 :

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

o a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) repr sentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) repr sentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement. Par cons quent, nous avons :

(ID 4504)

Dans le cas o il n'y a pas de pression hystrostatique, la loi de Bernoulli pour a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et < var>5416

peut tre r crit avec ERROR:6673

et en gardant l'esprit que

$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$

avec

et

il faut que

(ID 4835)