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Serie de Fourier
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ID:(1921, 0)


Serie de Fourier
Ecuación

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Toda función temporal x(t) se puede expresar como una serie de Fourier, es decir una suma de funciones trigonométricas de una frecuencia base y sus armónicos:

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

ID:(14342, 0)


Frecuencia base
Ecuación

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La frecuencia base
u_k de la serie de Fourier se define en función del tiempo T de la serie temporal x(t):

$ \nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T }$

ID:(14343, 0)


Definición coeficiente $a_k$
Ecuación

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Para calcular el coeficiente a_k de la serie

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se debe integrar la función x(t) ponderada por el coseno de la frecuencia correspondiente:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$

ID:(14347, 0)


Definición coeficiente $b_k$
Ecuación

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Para calcular el coeficiente b_k de la serie

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se debe integrar la función x(t) ponderada por el seno de la frecuencia correspondiente:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $

ID:(14348, 0)


Calculo coeficiente $a_k$
Ecuación

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Para estimar la integral

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$



se puede discretizar la función x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

ID:(14349, 0)


Calculo coeficiente $b_k$
Ecuación

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Para estimar la integral

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $



se puede discretizar la función x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

ID:(14350, 0)


Coeficiente en forma de complejo
Ecuación

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Los coeficientes de la transformada de Fourier

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



pueden ser reagrupados como un numero complejo definiendo

$ X_k = a_k - i b_k $

ID:(14352, 0)


Versión compleja de la serie de Fourier
Ecuación

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La transformada de Fourier

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se puede con la relación de Euler

$ e^{i \theta } = \cos \theta + i\sin \theta $



la definición

$ X_k = a_k - i b_k $



y la descreticación del tiempo

$ t_n = n \Delta t $



redefinir como las trasformada discreta en el espacio complejo de la serie temporal x_n igual a

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

ID:(14351, 0)


Definición coeficiente $X_k$
Ecuación

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Para calcular el coeficiente X_k de la serie

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$



se debe integrar la función x(t) ponderada por el coseno de la frecuencia correspondiente:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$

ID:(14353, 0)


Calculo coeficiente $X_k$
Ecuación

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Para estimar la integral

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$



se puede discretizar la función x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

ID:(14354, 0)


Magnitudes de los modos
Ecuación

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Si el coeficiente complejo es

$ X_k = a_k - i b_k $



su magnitud se define como

$ r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2}$

ID:(14355, 0)


Fase de los modos
Ecuación

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Si el coeficiente complejo es

$ X_k = a_k - i b_k $



la fase se puede calcular de

$ \phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k }$

ID:(14356, 0)