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Die Fourierreihe
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ID:(1921, 0)


Die Fourierreihe
Gleichung

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Jede Zeitfunktion x(t) kann als Fourier-Reihe ausgedrückt werden, d. h. als Summe trigonometrischer Funktionen einer Grundfrequenz und ihrer Harmonischen:

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

ID:(14342, 0)


Grundfrequenz
Gleichung

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Die Grundfrequenz
u_k der Fourier-Reihe ist definiert als Funktion der Zeit T der Zeitreihe x(t):

$ \nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T }$

ID:(14343, 0)


Definition $a_k$ berechnen
Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten a_k der Reihe

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$

ID:(14347, 0)


Definition $b_k$ berechnen
Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten b_k der Reihe

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



die Funktion x(t) muss mit dem Sinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $

ID:(14348, 0)


Koeffizient $a_k$ berechnen
Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

ID:(14349, 0)


Koeffizient $b_k$ berechnen
Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

ID:(14350, 0)


Koeffizient in komplexer Form
Gleichung

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Die Koeffizienten der Fourier-Transformation

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



kann durch Definition als komplexe Zahl umgruppiert werden

$ X_k = a_k - i b_k $

ID:(14352, 0)


Komplexe Version der Fourier-Reihe
Gleichung

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Fourier-Transformation

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



Sie können mit der Euler-Beziehung



die Definition

$ X_k = a_k - i b_k $



und die Dekretisierung der Zeit

$ t_n = n \Delta t $



neu definieren als die diskreten Transformationen im komplexen Raum der Zeitreihe x_n gleich

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

ID:(14351, 0)


Definition des Koeffizients $X_k$
Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten X_k der Reihe

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$



die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$

ID:(14353, 0)


Koeffizient $X_k$ berechnen
Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

ID:(14354, 0)


Größen der Moden
Gleichung

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Wenn der komplexe Koeffizient ist

$ X_k = a_k - i b_k $



seine Größe ist definiert als

$ r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2}$

ID:(14355, 0)


Modi Phase
Gleichung

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Wenn der komplexe Koeffizient ist

$ X_k = a_k - i b_k $



daraus kann die Phase berechnet werden

$ \phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k }$

ID:(14356, 0)