Jede Zeitfunktion x(t) kann als Fourier-Reihe ausgedr ckt werden, d. h. als Summe trigonometrischer Funktionen einer Grundfrequenz und ihrer Harmonischen:

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

(ID 14342)

Die Grundfrequenz
u_k der Fourier-Reihe ist definiert als Funktion der Zeit T der Zeitreihe x(t):

$ \nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T }$

(ID 14343)

Zur Berechnung des Koeffizienten a_k der Reihe

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$

(ID 14347)

Zur Berechnung des Koeffizienten b_k der Reihe

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

die Funktion x(t) muss mit dem Sinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $

(ID 14348)

Um das Integral abzusch tzen

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$

Sie k nnen die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

(ID 14349)

Um das Integral abzusch tzen

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $

Sie k nnen die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

(ID 14350)

Die Koeffizienten der Fourier-Transformation

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

kann durch Definition als komplexe Zahl umgruppiert werden

$ X_k = a_k - i b_k $

(ID 14352)

Fourier-Transformation

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

Sie k nnen mit der Euler-Beziehung

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

die Definition

$ X_k = a_k - i b_k $

und die Dekretisierung der Zeit

$ t_n = n \Delta t $

neu definieren als die diskreten Transformationen im komplexen Raum der Zeitreihe x_n gleich

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

(ID 14351)

Zur Berechnung des Koeffizienten X_k der Reihe

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$

(ID 14353)

Um das Integral abzusch tzen

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$

Sie k nnen die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

(ID 14354)

Wenn der komplexe Koeffizient ist

$ X_k = a_k - i b_k $

seine Gr e ist definiert als

$ r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2}$

(ID 14355)

Wenn der komplexe Koeffizient ist

$ X_k = a_k - i b_k $

daraus kann die Phase berechnet werden

$ \phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k }$

(ID 14356)