En la medida que la difusi n a lo largo del per metro es menor el sistema se puede modelar con cuatro concentraciones b sicas:

- $c_{11}$ en cavidad entre endotelio y membrana laminar
- $c_{12}$ en primera cavidad frente al hatch
- $c_{21}$ en cavidad entre membrana laminar y membrana exterior
- $c_{22}$ en segunda cavidad frente al hatch

Se consideran ademas las dimensiones geom tricas:

- $l_1$ per metro sin el hatch
- $l_2$ ancho del hatch
- $h$ largo del hatch (que es de mayor largo que la membrana)
- $d_1$ ancho primera cavidad
- $d_2$ ancho segunda cavidad

Se incluyen las constantes de difusi n

- $D_0$ a trav s del endotelio
- $D_1$ a trav s de la membrana laminar
- $D_2$ a trav s de la membrana exterior
- $D$ a trav s del medio liquido (perimetral y hatch)

Se asume adem s de que el sistema no llega al limite de saturaci n.

(ID 8855)

El flujo por una membrana con transportadores GluT con una concentraci n $c_1$ del primer lado y $c_2$ del segundo lado es para el caso no saturado igual a

$\displaystyle\frac{j_s}{c_s}(c_1-c_2)$

donde $j_s$ representa el flujo saturado y $c_s$ la concentraci n saturada.

La saturaci n se alcanza al momento de que la suma de las concentraciones superan la concentraci n cr tica ponderada por el largo total, o sea

$c_1+c_2 > c_s$

En dicha situaci n se da que el flujo llega a un maximo $j_s=D_gc_s$ que se distribuye en la proporci n

$\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}$

del medio 1 al 2 y

$\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}$

a la inversa. Por ello en caso de saturaci n el flujo efectivo ser

$j_s\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}-j_s\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}=\displaystyle\frac{j_s}{c_1+c_2}(c_1-c_2)$

Si se introduce la funci n de Heaviside $\theta(x)$ (igual a uno si x > 0 y cero si x < 0) el flujo se puede escribir como

$j(j_s,c_s,c_1,c_2)=\displaystyle\frac{j_s}{c_s}(c_1-c_2)\left(\displaystyle\frac{c_s}{c_1+c_2}\theta(c_1+c_2 - c_s)+\theta(c_s-c_1-c_2)\right)$

(ID 8860)

El flujo del lumen, con concentraci n $c_0$, al punto 11 con concentraci n $c_{11}$ por una pared del largo $l_1$, con flujo saturado $j_{s0}$ y concentraci n saturada $c_{s0}$, es

$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11})\Delta z$

De dicho punto fluyen en el per metro de ancho $d_1$ y alto $\Delta z$ de una zona con concentraci n $c_{11}$ a una con $c_{12}$ con una constante de difusi n $D$ es

$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{11}-c_{12})d_1\Delta z$

donde $d$ es la distancia entre los puntos 11 y 12.

Del mismo punto fluyen, a trav s de la segunda membrana, por un frente de largo $l_1$, con flujo saturado $j_{s1}$ concentraci n saturada $c_{s1}$ al punto 21 con una concentraci n $c_{21}$ el flujo es

$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})\Delta z$

Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como

$l_1d_1\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}$

por lo que para el primer punto se da que

$d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$

(ID 8856)

El flujo del lumen, con concentraci n $c_0$, al punto 12 con concentraci n $c_{12}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusi n $D_0$, es

$\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})\Delta z$

De dicho punto fluyen desde el per metro de ancho $d_1$ y alto $\Delta z$ de una zona con concentraci n $c_{11}$ a una con $c_{12}$ con una constante de difusi n $D$ es

$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{11}-c_{12})d_1\Delta z$

donde $d$ es la distancia entre los puntos 11 y 12.

Del mismo punto fluyen a trav s del hatch con un ancho $l_2$ y constante de difusi n $D$ a un punto con concentraci n $c_{22}$ es

$\displaystyle\frac{1}{h}D(c_{12}-c_{22})l_2\Delta z$

Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como

$l_2d_1\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}$

por lo que para el primer punto se da que

$d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$

(ID 8857)

El flujo de la primera cavidad con concentraci n $c_{11}$, al punto 21 con concentraci n $c_{21}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusi n $D_2$, es

$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})\Delta z$

De dicho punto fluyen en el per metro de ancho $d_2$ a una zona con concentraci n $c_{22}$ con una constante de difusi n $D$ es

$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{21}-c_{22})d_2\Delta z$

donde $d$ es la distancia entre los puntos 21 y 22.

Del mismo punto fluyen a trav s de la membrana externa por un frente de largo $l_1$ y constante de difusi n $D_3$ a un punto con concentraci n $c_3$ es

$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3)\Delta z$

Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como

$l_1d_2\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}$

por lo que para el primer punto se da que

$d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$

(ID 8858)

El flujo del punto con concentraci n $c_{12}$, al punto 22 con concentraci n $c_{22}$ por una pared del largo $l_2$ y constante de difusi n $D$, es

$\displaystyle\frac{1}{h}D(c_{12}-c_{22})\Delta z$

De dicho punto fluyen desde el per metro de ancho $d_2$ a una zona con concentraci n $c_{21}$ con una constante de difusi n $D$ es

$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{21}-c_{22})d_2\Delta z$

donde $d$ es la distancia entre los puntos 21 y 22.

Del mismo punto fluyen a trav s de la membrana externa por un frente de largo $l_2$ y constante de difusi n $D_3$ a un punto con concentraci n $c_3$ es

$\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)\Delta z$

Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como

$l_2d_2\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}$

por lo que para el primer punto se da que

$d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$

(ID 8859)

Si se suman las cuatro ecuaciones de las concentraciones

$d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$

$d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$

$d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$

y

$d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$

se obtiene

$\displaystyle\frac{dN}{dt}=\displaystyle\frac{1}{l_1+l_2}((l_1j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11})+l_2j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12}))-(l_1j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))+l_2j(j_{s2},c_{s2},c_{22},c_3)))$

(ID 8889)

(ID 8865)

Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos


que en los primeros 0.5 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:


con flujos entre ellos:


y flujos hacia y desde:


(ID 8878)

Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos


que en los primeros 600 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:


con flujos entre ellos:


y flujos hacia y desde:


Conclusi n:

Con los par metros seteados para la glucosa pasa

- inicialmente la membrana es muy lenta pero su superficie mucho mayor que el hatch existiendo flujos similares (62.8% membrana y 37.2% hatch)
- en forma asintom tica fluye la mayor parte hacia el hatch pasando por este siendo el flujo 99.0% por el hatch y 1.0% por la membrana.

Esto significar a que para procesos r pidos la difusi n perimetral no juega un papel primordial y la difusi n es tanto por la membrana como el hatch. En situaciones lentas sin embargo el hatch juega un papel importante.

(ID 8879)