brainhatch006

(ID 8855)

El flujo por una membrana con transportadores GluT con una concentraci n $c_1$ del primer lado y $c_2$ del segundo lado es para el caso no saturado igual a

$D_g(c_2-c_1)l_g$

donde $D_g=j_s/c_s$ representa la relaci n entre flujo saturado $j_s$ y concentraci n saturada $c_s$ y $l_g$ el largo de la secci n en que difunde.

La saturaci n se alcanza al momento de que la suma de las concentraciones superan la concentraci n cr tica ponderada por el largo total, o sea

$c_1+c_2 > c_s$

En dicha situaci n se da que el flujo llega a un maximo $j_s=D_gc_s$ que se distribuye en la proporci n

$\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}$

del medio 1 al 2 y

$\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}$

a la inversa. Por ello en caso de saturaci n el flujo efectivo ser

$D_gc_s\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}-D_gc_s\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}=D_gc_s\displaystyle\frac{(c_2-c_1)}{c_1+c_2}l_g$

Si se introduce la funci n de Heaviside $\theta(x)$ (igual a uno si x > 0 y cero si x < 0) el flujo se puede escribir como

$j(j_s,c_s,c_1,c_2)=\displaystyle\frac{j_s}{c_s}(c_1-c_2)\left(\displaystyle\frac{c_s}{c_1+c_2}\theta(c_1+c_2 - c_s)+\theta(c_s-c_1-c_2)\right)$

(ID 8860)

El flujo del lumen, con concentraci n $c_0$, al punto 11 con concentraci n $c_{11}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusi n $D_0$, es

$D_0(c_0-c_{11})l_1$

De dicho punto fluyen en el per metro de ancho $d_1$ a una zona con concentraci n $c_{12}$ con una constante de difusi n $D$ es

$D(c_{12}-c_{11})d_1$

Del mismo punto fluyen a trav s de la segunda membrana por un frente de largo $l_1$ y constante de difusi n $D_1$ a un punto con concentraci n $c_{21}$ es

$D_1(c_{21}-c_{11})l_1$

por lo que para el primer punto se da que

$d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$

(ID 8856)

El flujo del lumen, con concentraci n $c_0$, al punto 12 con concentraci n $c_{12}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusi n $D_0$, es

$D_0(c_{12}-c_0)l_1$

De dicho punto fluyen desde el per metro de ancho $d_1$ a una zona con concentraci n $c_{11}$ con una constante de difusi n $D$ es

$D(c_{12}-c_{11})d_1$

Del mismo punto fluyen a trav s del hatch con un ancho $l_2$ y constante de difusi n $D$ a un punto con concentraci n $c_{22}$ es

$D(c_{22}-c_{12})l_2$

por lo que para el primer punto se da que

$d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$

(ID 8857)

El flujo de la primera cavidad con concentraci n $c_{11}$, al punto 21 con concentraci n $c_{21}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusi n $D_2$, es

$D_2(c_{21}-c_{11})l_1$

De dicho punto fluyen en el per metro de ancho $d_2$ a una zona con concentraci n $c_{22}$ con una constante de difusi n $D$ es

$D(c_{22}-c_{21})d_2$

Del mismo punto fluyen a trav s de la membrana externa por un frente de largo $l_1$ y constante de difusi n $D_3$ a un punto con concentraci n $c_3$ es

$D_3(c_3-c_{21})l_1$

por lo que para el tercer punto se da que

$d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$

(ID 8858)

El flujo del punto con concentraci n $c_{12}$, al punto 22 con concentraci n $c_{22}$ por una pared del largo $l_2$ y constante de difusi n $D$, es

$D(c_{22}-c_{12})l_2$

De dicho punto fluyen desde el per metro de ancho $d_2$ a una zona con concentraci n $c_{21}$ con una constante de difusi n $D$ es

$D(c_{22}-c_{21})d_2$

Del mismo punto fluyen a trav s del hatch con un ancho $l_2$ y constante de difusi n $D$ a un punto con concentraci n $c_{22}$ es

$D(c_{22}-c_{12})l_2$

por lo que para el primer punto se da que

$d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$

(ID 8859)

Si se suman las cuatro ecuaciones de las concentraciones

$d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$

$d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$

$d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$

y

$d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$

se obtiene

$\displaystyle\frac{dN}{dt}=\displaystyle\frac{1}{l_1+l_2}((l_1j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11})+l_2j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12}))-(l_1j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))+l_2j(j_{s2},c_{s2},c_{22},c_3)))$

(ID 8889)

(ID 8865)

Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos

[Parametros](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D001.jpg)

que en los primeros 0.5 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:

[Concentraciones](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D003.jpg)

con flujos entre ellos:

[Flujos Internos](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D004.jpg)

y flujos hacia y desde:

[Flujos Externos](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D005.jpg)

(ID 8878)

Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos

[Parametros](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D006.jpg)

que en los primeros 600 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:

[Concentraciones](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D008.jpg)

con flujos entre ellos:

[Flujos Internos](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D009.jpg)

y flujos hacia y desde:

[Flujos Externos](http://www.gphysics.net/images/research/biophysics/diffusion/sim1D010.jpg)

(ID 8879)