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Discretización
Storyboard
ID:(1066, 0)
Energía del fotón
Ecuación
El color de la luz se asocia a la frecuencia
u
 $ E = h \nu $ |
donde
ID:(3341, 0)
Momento del Fotón
Ecuación
El momento de un fotón de frecuencia $
u$ es
| $ p =\displaystyle\frac{ h \nu }{ c }$ |
donde $h$ es la constante de Planck y $c$ es la velocidad de la luz.
ID:(8707, 0)
Discretización de espacio de fase
Ecuación
Como el momento es
| $ p =\displaystyle\frac{ h \nu }{ c }$ |
y la dirección de los fotones
$\hat{n}=\displaystyle\frac{\vec{p}}{p}$
se tiene que el elemento de volumen en el espacio de fase es:
| $\Delta x\,\Delta p=\displaystyle\frac{h^3\nu^2}{c^3}\Delta x\,d\nu\Delta\Omega$ |
ID:(8708, 0)
Producto de Vectores base
Ecuación
Para calcular las proyecciones se requiere definir para cualquier numero de dimensiones y puntos vecinos el producto de dos vectores bases próximos:
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
ID:(8716, 0)
Producto de Vectore base con Vector a proyectar
Ecuación
Para calcular las proyecciones se requiere definir para cualquier numero de dimensiones y puntos vecinos el producto de un vector bases y el vector a proyectar:
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
ID:(8717, 0)
Proyecciones 2D
Ecuación
En la proyección del vector $\vec{u}$ en los vectores bases $\vec{e}_i$ se deben buscar valores $(\lambda_1,\lambda_2)$ tal que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2$ |
ID:(8718, 0)
Proyecciones 2D (1)
Ecuación
Si se desea expresar un vector $\vec{u}$ en función de los vectores base $\vec{e}_1$ y $\vec{e}_2$ de modo que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2$ |
Si se multiplica esta expresión con $\vec{e}_1$:
$\lambda_1\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=\vec{u}\cdot\vec{e}_1$
y con $\vec{e}_2$:
$\lambda_1\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2+\lambda_2\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=\vec{u}\cdot\vec{e}_2$
se obtiene, con las notaciones abreviadas
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
y
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
para $z_1$:
| $\lambda_1=\displaystyle\frac{e_{12}ue_2-e_{22}^2ue_1}{e_{12}^2-e_1^2e_2^2}$ |
ID:(8711, 0)
Proyecciones 2D (2)
Ecuación
Si se desea expresar un vector $\vec{u}$ en función de los vectores base $\vec{e}_1$ y $\vec{e}_2$ de modo que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2$ |
Si se multiplica esta expresión con $\vec{e}_1$:
$\lambda_1\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=\vec{u}\cdot\vec{e}_1$
y con $\vec{e}_2$:
$\lambda_1\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2+\lambda_2\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=\vec{u}\cdot\vec{e}_2$
se obtiene, con las notaciones abreviadas
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
y
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
para $z_2$:
| $\lambda_2=\displaystyle\frac{e_{12}ue_1-e_{11}^2ue_2}{e_{12}^2-e_{11}^2e_{22}^2}$ |
ID:(8712, 0)
Proyecciones 3D
Ecuación
En la proyección del vector $\vec{u}$ en los vectores bases $\vec{e}_i$ se deben buscar valores $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ tal que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3$ |
ID:(8719, 0)
Proyecciones 3D (1)
Ecuación
Si se desea expresar un vector $\vec{u}$ en función de los vectores base $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$ de modo que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3$ |
Si se multiplica esta expresión con $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$, se obtiene:
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1)+\lambda_2(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_1$,
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_2$
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)+\lambda_3(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_3$
que con la notación
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
y
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
lleva a que $z_1$ es:
| $\lambda_1=\displaystyle\frac{e_{12}(e_{33}ue_2-e_{23}ue_3)+e_{13}(e_{22}ue_3-e_{23}ue_2)+(e_{23}^2-e_{22}e_{33})ue_1}{e_{11}(e_{23}^2-e_{22}e_{33})+e_{12}^2e_{33}-2e_{12}e_{13}e_{23}+e_{13}^2e_{22}}$ |
ID:(8713, 0)
Proyecciones 3D (2)
Ecuación
Si se desea expresar un vector $\vec{u}$ en función de los vectores base $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$ de modo que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3$ |
Si se multiplica esta expresión con $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$, se obtiene:
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1)+\lambda_2(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_1$,
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_2$
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)+\lambda_3(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_3$
que con la notación
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
y
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
lleva a que $z_2$ es:
| $z_2=-\displaystyle\frac{e_{11}(e_{33}ue_2-e_{23}ue_3)+e_{12}e_{13}ue_3-e_{13}^2ue_2+(e_{13}e_{23}-e_{12}e_{33})ue_1}{e_{11}(e_{23}^2-e_{22}e_{33})+e_{12}^2e_{33}-2e_{12}e_{13}e_{23}+e_{13}^2e_{22}}$ |
ID:(8714, 0)
Proyecciones 3D (3)
Ecuación
Si se desea expresar un vector $\vec{u}$ en función de los vectores base $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$ de modo que
| $\vec{u} = \lambda_1\vec{e}_1+\lambda_2\vec{e}_2+\lambda_3\vec{e}_3$ |
Si se multiplica esta expresión con $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ y $\vec{e}_3$, se obtiene:
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1)+\lambda_2(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_1$,
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2)+\lambda_3(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_2$
$\lambda_1(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3)+\lambda_2(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3)+\lambda_3(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_3)=\vec{u}\cdot\vec{e}_3$
que con la notación
| $ue_i=\vec{u}\cdot\vec{e}_i$ |
y
| $e_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$ |
lleva a que $z_3$ es:
| $z_2=\displaystyle\frac{e_{11}(e_{23}ue_2-e_{22}ue_3)+e_{12}^2ue_3-e_{12}e_{13}ue_2+(e_{13}e_{22}-e_{12}e_{23})ue_1}{e_{11}(e_{23}^2-e_{22}e_{33})+e_{12}^2e_{33}-2e_{12}e_{13}e_{23}+e_{13}^2e_{22}}$ |
ID:(8715, 0)