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Ideal Gas Model
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Based on the state count, some of the thermodynamic properties of an ideal gas can be calculated.

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ID:(446, 0)


Función partición de un gas ideal
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ID:(10628, 0)


General Equation of Gases
Equation

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Si empleamos el numero de estados para el caso de un gas ideal tendremos que el numero de estados es con

$ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$

\\n\\ncon N el numero de partículas, V el volumen, E la energía, m la masa de la partícula y h la constante de Planck.\\n\\nSi calculamos el logaritmo del numero de estados y luego diferenciamos se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V}=\displaystyle\frac{N}{V}$



por lo que se obtiene con :

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

ID:(3447, 0)


Gas constant
Equation

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La constante de Boltzmann k_B representa un tipo de capacidad calórica microscópica. Su símil macroscópico es la constante universal de los gases R que considera el número de partículas contenidas en un mol. Por ello la relación entre la constante universal de los gases, el número de Avogadro y la constante de Boltzmann esta dado por:

$ R = N_A k_B $

ID:(3747, 0)


Ideal gas equation and gases constant
Equation

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Para la presión p la ecuación de los gases se escribe con absolute temperature $K$, boltzmann Constant $J/K$, numero de Partículas $-$, pressure $Pa$ and volume $m^3$ como

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

\\n\\nEl número de partículas puede ser escrito en función del número de moles mediante\\n\\n

$N=nN_A$



donde N_A es el número de Avogadro. Con la definición de la constante universal de los gases con avogadro's Number $-$, boltzmann Constant $J/K$ and universal gas constant $J/mol K$

$ R = N_A k_B $



se obtiene la forma tradicional de la ecuación de los gases con avogadro's Number $-$, boltzmann Constant $J/K$ and universal gas constant $J/mol K$

$ p V = n R T $

ID:(3745, 0)


Entropy of an ideal gas
Equation

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Como la entropía S se define como la constante de Boltzmann k_B por el logaritmo natural del número de estados se tiene con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $

\\n\\nse puede estimar para un gas ideal su entropía. Como el número de estados de un gas ideal es\\n\\n

$\Omega(E)=\left(B\left(\displaystyle\frac{2m}{h^2}\right)^{3/2}V E^{3/2}\right)^N$



con V el volumen, E la energía y N el número de partículas se tiene que con

$ S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)$

donde \gamma es una constante asociada a la normalización de la función de número de estados.

Nota: la entropía ha sido corregida en la energía y en el volumen por un factor 1/N de modo que esta sea extensible. Dicho factor se puede obtener directamente del número de estados \Omega en la medida que se asume que las partículas son indistinguibles y se requiere incluir todas las permutaciones posibles. Para mayores detalles puede consultarse la llamada paradoja de Gibbs.

ID:(3751, 0)


Entropy constant
Equation

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La constante \gamma corresponde al factor de normalización que permite transformar el espacio de fase en numero de estados. En este caso se tiene con que

$ \gamma = B \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3/2}$

ID:(3752, 0)


Entropy of an ideal gas, dimensionless expression
Equation

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La expresión de la entropía del gas ideal con boltzmann Constant $J/K$, entropy $J/K$, entropy Constant $-$, internal energy $J$, number of particles $-$ and volume $m^3$

$ S = N k_B \left(\displaystyle\frac{3}{2}\ln\displaystyle\frac{ U }{ N }+\ln\displaystyle\frac{ V }{ N }+ \ln \gamma \right)$



con lo que constante se puede reescribir con boltzmann Constant $J/K$, entropy $J/K$, entropy Constant $-$, internal energy $J$, number of particles $-$ and volume $m^3$ como

$ S = N k_B \ln\left(\left(\displaystyle\frac{ U }{ N }\right)^{3/2}\displaystyle\frac{ V }{ N } \gamma \right)$

ID:(4807, 0)


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