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Counting states
Equation

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Si se supone una 'caja' de aristas de largo L los vectores de onda de la funciones de onda serán iguales a\\n\\n

$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L}n_i$

\\n\\nPor ello el numero de estados en un volumen en el espacio de estados d^3n es igual a\\n\\n

$d^3 n =\displaystyle\frac{ L ^3}{(2 \pi )^3}d^3 k $



Esta expresión no considera de que por estado pueden existir dos electrones por lo que debemos incluir un factor 2. Por otro lado la expresión L^3 corresponde al volumen V por lo que con

$d^3 n =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}d^3 k $

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

ID:(3795, 0)


Momentum and wave vector of electrons
Equation

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Cada partícula esta relacionado a un momento \vec{p} que se relaciona con el vector de onda \vec{k}. Con el momento

$ \vec{p} = \hbar \vec{k} $

ID:(3793, 0)


Energy of the electrons
Equation

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Como los electrones se modelan como partículas libres y podemos asumir el limite no relativista se tiene que la energía en función del vector de onda \vec{k} es con

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

ID:(3794, 0)


From sum to integral
Equation

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Si consideramos partículas libres en el limite no relativista se puede expresar la energía \epsilon en función del vector de onda k, la constante de Planck \hbar y la masa m:

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

\\n\\nLa suma se asocia a la integral del numero de modos\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow 2\displaystyle\int d^3n$

\\n\\ndonde 2 corresponde los estados spin up y down. Si pasamos al vector de onda se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow \displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}\int d^3k=\displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}4\pi\int k^2dk$



Con la relación de la energía con el vector de onda se obtiene con la relación

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $

ID:(13452, 0)


Función partición de Fermiones caso continuo
Equation

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En el caso continuo la función partición se tiene que con es

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



puede re-escribirse con

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $



con como

$ \ln Z_{FD} = \alpha N + \displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2}\displaystyle\int_0^{\infty}\ln(1+e^{- \beta \epsilon - \alpha }) \epsilon ^{1/2} d\epsilon $

ID:(13453, 0)


Number of Particles in the State $r$
Equation

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El número de partículas en el estado r se puede calcular con mediante

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_{BE} }{\partial \epsilon_r }$



con la función partición

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



lo que da con

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$

ID:(3730, 0)


Total number of Fermions
Equation

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Como la función partición es independiente del factor \alpha se tiene que con

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

\\n\\nla derivada de \ln Z_{FD} en \alpha nos da\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial\ln Z_{FD}}{\partial\alpha}=N-\sum_r\displaystyle\frac{e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}{1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}$



por lo que el numero de partículas es con

$N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$

ID:(3729, 0)


Numero de partículas caso continuo
Equation

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Como el numero de partículas la suma es con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$ and numero de fermiones en el estado $r$ $-$ de

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$



en el caso continuo con se tiene que

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $



por lo que con se tiene que

$ N =\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{ \epsilon ^{1/2} d\epsilon }{e^{ \beta \epsilon + \alpha }+1}$

ID:(13680, 0)


Fermi Function for different temperatures
Image

>Top


La función de Fermi tiene el siguiente aspecto:

Energía de Fermi

ID:(1923, 0)


Total number of states
Equation

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Si se integra el numero d^3n sobre todos los estados se obtiene el numero de electrones N. Como el espacio del vector de onda es isotropico la integración sobre \vec{k} da una esfera cuyo radio es igual al vector de onda de Fermi k_F que corresponde al vector de onda de la energía de Fermi \epsilon_F. Por ello con se tiene que

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$

ID:(3796, 0)


Broglie Wave Length
Equation

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El largo de onda de Broglie se asocia al vector de onda mediante\\n\\n

$\lambda=\displaystyle\frac{2\pi}{k}$



por lo que se puede definir un largo de onda de Broglie asociado a los electrones mediante el vector de onda de Fermi por lo que con

$ \lambda_F =\displaystyle\displaystyle\frac{2 \pi }{ k_F }$

ID:(3798, 0)


Fermi Wave Vector
Equation

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Si se despeja la ecuación del número total de electrones

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$



se obtiene que el vector de onda de Fermi es con

$ k_F =\left(3 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

ID:(3797, 0)


Chemical potential
Equation

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Como el potencial químico es igual a la energía de Fermi

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

\\n\\ny esta se puede asociar al vector de onda de Fermi se tiene que\\n\\n

$\mu=\displaystyle\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}$



Como el número de estados se asocia al vector de onda de Fermi mediante

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$



por lo que el potencial químico o la energía de Fermi es con igual a

$ \epsilon_F =\displaystyle\frac{ \hbar ^2}{2 m }\left(3 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{2/3}$

ID:(3799, 0)


Fermi temperature
Equation

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Como la energía \epsilon se puede asociar a la constante de Boltzmann k_B y la temperatura T\\n\\n

$\epsilon=k_BT$



se puede definir una temperatura de Fermi T_F es con

$ T_F =\displaystyle\frac{ \epsilon_F }{ k_B }$

ID:(3800, 0)


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Video

Video: Función partición de los Fermiones