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Fermi-Funktion für verschiedene Temperaturen
Definition

La función de Fermi tiene el siguiente aspecto:

Energía de Fermi

ID:(1923, 0)


Función Partición de los Fermiones
Beschreibung

Variablen
Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$k_B$
k_B
Constante de Boltzmann
J/K
$\hbar$
hbar
Constante de Planck dividida por $2\pi$
J s
$\epsilon$
epsilon
Energía del electrón
J
$\epsilon_r$
epsilon_r
Energía del fermion en el estado $r$
J
$\alpha$
alpha
Factor alpha
-
$\beta$
beta
Factor beta
1/J
$\lambda_F$
lambda_F
Largo de onda
m
$m_e$
m_e
Masa del electrón
kg
$\vec{p}$
&p
Momento (vector)
kg m/s
$n$
n
Numero de estados
-
$n_r$
n_r
Numero de fermiones en el estado $r$
-
$N$
N
Numero de partículas
-
$\epsilon_F$
epsilon_F
Potencial químico del gas de electrones
J
$T_F$
T_F
Temperatura de Fermi
K
$k$
k
Vector de onda
1/m
$\vec{k}$
&k
Vector de onda (vector)
1/m
$k_F$
k_F
Vector de onda de Fermi
1/m
$V$
V
Volumen
m^3

Berechnungen

Zuerst die Gleichung auswählen:   zu ,  dann die Variable auswählen:   zu 
Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

 Variable   Gegeben   Berechnen   Ziel :   Gleichung   Zu verwenden


Gleichungen

Beispiele

Si se supone una 'caja' de aristas de largo L los vectores de onda de la funciones de onda ser n iguales a\\n\\n

$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L}n_i$

\\n\\nPor ello el numero de estados en un volumen en el espacio de estados d^3n es igual a\\n\\n

$d^3 n =\displaystyle\frac{ L ^3}{(2 \pi )^3}d^3 k $



Esta expresi n no considera de que por estado pueden existir dos electrones por lo que debemos incluir un factor 2. Por otro lado la expresi n L^3 corresponde al volumen V por lo que con

$d^3 n =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}d^3 k $

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

(ID 3795)

Cada part cula esta relacionado a un momento \vec{p} que se relaciona con el vector de onda \vec{k}. Con el momento

$ \vec{p} = \hbar \vec{k} $

(ID 3793)

Como los electrones se modelan como part culas libres y podemos asumir el limite no relativista se tiene que la energ a en funci n del vector de onda \vec{k} es con

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

(ID 3794)

Si consideramos part culas libres en el limite no relativista se puede expresar la energ a \epsilon en funci n del vector de onda k, la constante de Planck \hbar y la masa m:

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

\\n\\nLa suma se asocia a la integral del numero de modos\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow 2\displaystyle\int d^3n$

\\n\\ndonde 2 corresponde los estados spin up y down. Si pasamos al vector de onda se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow \displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}\int d^3k=\displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}4\pi\int k^2dk$



Con la relaci n de la energ a con el vector de onda se obtiene con la relaci n

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $

(ID 13452)

En el caso continuo la funci n partici n se tiene que con es

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



puede re-escribirse con

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $



con como

$ \ln Z_{FD} = \alpha N + \displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2}\displaystyle\int_0^{\infty}\ln(1+e^{- \beta \epsilon - \alpha }) \epsilon ^{1/2} d\epsilon $

(ID 13453)

El n mero de part culas en el estado r se puede calcular con mediante

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_{BE} }{\partial \epsilon_r }$



con la funci n partici n

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



lo que da con

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$

(ID 3730)

Como la funci n partici n es independiente del factor \alpha se tiene que con

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

\\n\\nla derivada de \ln Z_{FD} en \alpha nos da\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial\ln Z_{FD}}{\partial\alpha}=N-\sum_r\displaystyle\frac{e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}{1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}$



por lo que el numero de part culas es con

$N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$

(ID 3729)

Como el numero de part culas la suma es con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$ und numero de fermiones en el estado $r$ $-$ de

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$



en el caso continuo con se tiene que

$ \displaystyle\sum_ i \rightarrow\displaystyle\frac{ 2 V }{4 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2} \epsilon ^{1/2} d\epsilon $



por lo que con se tiene que

$ N =\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2}\left(\displaystyle\frac{2 m }{ \hbar ^2}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{ \epsilon ^{1/2} d\epsilon }{e^{ \beta \epsilon + \alpha }+1}$

(ID 13680)

La funci n de Fermi tiene el siguiente aspecto:

Energ a de Fermi

(ID 1923)

Si se integra el numero d^3n sobre todos los estados se obtiene el numero de electrones N. Como el espacio del vector de onda es isotropico la integraci n sobre \vec{k} da una esfera cuyo radio es igual al vector de onda de Fermi k_F que corresponde al vector de onda de la energ a de Fermi \epsilon_F. Por ello con se tiene que

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$

(ID 3796)

El largo de onda de Broglie se asocia al vector de onda mediante\\n\\n

$\lambda=\displaystyle\frac{2\pi}{k}$



por lo que se puede definir un largo de onda de Broglie asociado a los electrones mediante el vector de onda de Fermi por lo que con

$ \lambda_F =\displaystyle\displaystyle\frac{2 \pi }{ k_F }$

(ID 3798)

Si se despeja la ecuaci n del n mero total de electrones

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$



se obtiene que el vector de onda de Fermi es con

$ k_F =\left(3 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

(ID 3797)

Como el potencial qu mico es igual a la energ a de Fermi

$ \epsilon =\displaystyle\frac{ \hbar ^2 \vec{k} ^2}{2 m }$

\\n\\ny esta se puede asociar al vector de onda de Fermi se tiene que\\n\\n

$\mu=\displaystyle\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}$



Como el n mero de estados se asocia al vector de onda de Fermi mediante

$ N =2\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3}\displaystyle\frac{4 \pi }{3} k_F ^3$



por lo que el potencial qu mico o la energ a de Fermi es con igual a

$ \epsilon_F =\displaystyle\frac{ \hbar ^2}{2 m }\left(3 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{2/3}$

(ID 3799)

Como la energ a \epsilon se puede asociar a la constante de Boltzmann k_B y la temperatura T\\n\\n

$\epsilon=k_BT$



se puede definir una temperatura de Fermi T_F es con

$ T_F =\displaystyle\frac{ \epsilon_F }{ k_B }$

(ID 3800)

ID:(503, 0)