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Estadística de Fotones
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Un caso especial de la mecánica estadística de sistemas cuánticos es el de los fotones. A diferencia de otras partículas los fotones, que corresponde a bosones, se pueden crear aumentando la energía del sistema y no están limitados a un numero finito particulates. Por ello se les debe describir mediante la distribución canónica y no la gran canónica.
ID:(502, 0)
Bosones
Descripción
Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores
$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$
Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.
ID:(704, 0)
Función partición para un numero indefinido de partículas
Ecuación
En el caso de los fotónes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energía
$E=n_r\epsilon_r$
Como el número de fotónes no es fijo, la función partición con
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
debe considerar que existen todos los posibles estados
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
ID:(9565, 0)
Función partición de fotones
Ecuación
La expresión de la función partición para fotones con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
corresponde a suma es una serie geométrica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$ |
ID:(3668, 0)
Numero de fotones
Ecuación
El numero medio de partículas se puede calcular ponderando el numero
$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$
\\n\\no sea que\\n\\n
$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$
lo que con la función partición es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ igual a
| $ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$ |
se puede escribir con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ como
| $ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$ |
ID:(9566, 0)
Estadística de fotones
Ecuación
Como función partición de los fotones es con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y función partición de los fotones en el estado r $-$ igual a
| $ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$ |
y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado
| $ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$ |
Calculando el número medio $\bar{n_r}$ se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ y numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$ la llamada 'distribución de cuerpo negro':
| $ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$ |
que corresponde a la distribución de Planck y describe el espectro de radiaciones.
ID:(3669, 0)
Modos de fotones en una caja
Ecuación
Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo
$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$
donde
| $ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$ |
con
ID:(12126, 0)
Numero de modos en función del vector de onda
Ecuación
Como los modos en una caja son con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$, numero de modos para la dirección $i$ $-$ y pi $rad$
| $ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$ |
\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n
$ dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$
en donde se supone que
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $ |
ID:(12127, 0)
Frecuencia angular en función del vector de onda
Ecuación
La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.
Con es por ello
| $ \omega = c \mid\vec{k}\mid$ |
ID:(12128, 0)
Numero de modos en función de la frecuencia angular
Ecuación
El numero de modos en función del vector de onda es con magnitud del vector de onda $1/m$, numero de estados $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $ |
Con la relación entre la frecuencia angular y el vector de onda que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ es
| $ \omega = c \mid\vec{k}\mid$ |
con lo que se deduce que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ se tiene que el numero de modos en función de la frecuencia angular es
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $ |
ID:(12130, 0)
Energía del foton
Ecuación
La energía del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por
Por ello con es
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
ID:(12131, 0)
Densidad de la distribución de frecuencia angular
Ecuación
Como la energía del foton definida con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ como
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
y el numero de estados es con frecuencia angular $rad/s$, numero de estados $-$, pi $rad$, velocidad de la luz $m/s$ y volumen $m^3$ igual a
| $ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $ |
por lo que la distribución con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$
| $ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$ |
por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribución que con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ es por ello
| $ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
ID:(12129, 0)
Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia angular
Ecuación
Como la energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ igual a
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
y la distribución de modos con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ es
| $ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
por lo que la distribución de energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a
| $ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
ID:(12124, 0)
Frecuencia angular
Ecuación
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
 $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia
Ecuación
Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ el espectro del cuerpo negro en función de la frecuencia angular es
| $ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$ |
por lo que con es
| $ \epsilon = \hbar \omega $ |
por lo que recordando que la constante de Planck es
| $ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
ID:(12133, 0)
Intensidad de la luz
Ecuación
La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energía siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.
Por ello con la intensidad es igual a
| $ I = c \epsilon $ |
ID:(12134, 0)
Intensidad del cuerpo negro
Ecuación
Con energía del foton $J$, intensidad de la luz $W/m^2$ y velocidad de la luz $m/s$ la intensidad de la luz es
| $ I = c \epsilon $ |
y como la densidad espectral es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$
| $ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
se tiene que la distribución de la intensidad es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a
| $ I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$ |
Esta es la forma clásica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.
ID:(12125, 0)
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