Usuario:


Estadística de Fotones

Storyboard

Un caso especial de la mecánica estadística de sistemas cuánticos es el de los fotones. A diferencia de otras partículas los fotones, que corresponde a bosones, se pueden crear aumentando la energía del sistema y no están limitados a un numero finito particulates. Por ello se les debe describir mediante la distribución canónica y no la gran canónica.

ID:(502, 0)


Bosones

Descripción

Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)


Función partición para un numero indefinido de partículas

Ecuación

En el caso de los fotónes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energía \epsilon_r y su numero no esta limitado. Si existen n_r fotónes de dicha energía, la energía total será\\n\\n

$E=n_r\epsilon_r$



Como el número de fotónes no es fijo, la función partición con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



debe considerar que existen todos los posibles estados n_r=0,1,2,\ldots por lo que se deben sumar las distintas alternativas con

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$

ID:(9565, 0)


Función partición de fotones

Ecuación

La expresión de la función partición para fotones con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



corresponde a suma es una serie geométrica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$

ID:(3668, 0)


Numero de fotones

Ecuación

El numero medio de partículas se puede calcular ponderando el numero n_r con la probabilidad de existencia de n_r partículas dado por la distribución canónica:\\n\\n

$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$

\\n\\no sea que\\n\\n

$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$



lo que con la función partición es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



se puede escribir con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ y numero de fotones en el estado $r$ $-$ como

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$

ID:(9566, 0)


Estadística de fotones

Ecuación

Como función partición de los fotones es con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y función partición de los fotones en el estado r $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$



y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado r es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ y numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$



Calculando el número medio $\bar{n_r}$ se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ y numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$ la llamada 'distribución de cuerpo negro':

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$

que corresponde a la distribución de Planck y describe el espectro de radiaciones.

ID:(3669, 0)


Modos de fotones en una caja

Ecuación

Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo L los largos de onda posibles son aquellos que son fracciones de esta\\n\\n

$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$



donde n es un numero entero y señala el estado. Por ello con tenemos que vector de onda tiene que ser

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

con i el eje correspondiente (x,y,z).

ID:(12126, 0)


Numero de modos en función del vector de onda

Ecuación

Como los modos en una caja son con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$, numero de modos para la dirección $i$ $-$ y pi $rad$

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n

$ dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$



en donde se supone que L^3 es el volumen V. Por ello que con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$, numero de modos para la dirección $i$ $-$ y pi $rad$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $

ID:(12127, 0)


Frecuencia angular en función del vector de onda

Ecuación

La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.

Con es por ello

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$

ID:(12128, 0)


Numero de modos en función de la frecuencia angular

Ecuación

El numero de modos en función del vector de onda es con magnitud del vector de onda $1/m$, numero de estados $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $



Con la relación entre la frecuencia angular y el vector de onda que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ es

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$



con lo que se deduce que con frecuencia angular $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ y velocidad de la luz $m/s$ se tiene que el numero de modos en función de la frecuencia angular es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $

ID:(12130, 0)


Energía del foton

Ecuación

La energía del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por 2\pi.

Por ello con es

$ \epsilon = \hbar \omega $

ID:(12131, 0)


Densidad de la distribución de frecuencia angular

Ecuación

Como la energía del foton definida con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ como

$ \epsilon = \hbar \omega $



y el numero de estados es con frecuencia angular $rad/s$, numero de estados $-$, pi $rad$, velocidad de la luz $m/s$ y volumen $m^3$ igual a

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $



por lo que la distribución con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$



por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribución que con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ es por ello

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

ID:(12129, 0)


Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia angular

Ecuación

Como la energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del foton $J$ y frecuencia angular $rad/s$ igual a

$ \epsilon = \hbar \omega $



y la distribución de modos con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ es

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que la distribución de energía es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

ID:(12124, 0)


Frecuencia angular

Ecuación

Si se recuerda que la velocidad angular era el angulo recorrido en el tiempo se puede ver que la expresión\\n\\n

$\displaystyle\frac{2\pi}{T}$



corresponde a una vuelta completa (2\pi) dividido por el periodo que es el tiempo que se requiere para un ciclo. Por ello se define la frecuencia angular con como

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega$
Frecuencia angular
$rad/s$
$T$
Período
$s$
$\pi$
Pi
3.1415927
$rad$

ID:(12335, 0)


Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia

Ecuación

Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ el espectro del cuerpo negro en función de la frecuencia angular es

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que con es

$ \epsilon = \hbar \omega $



por lo que recordando que la constante de Planck es h = 2\pi\hbar el espectro del cuerpo negro con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

ID:(12133, 0)


Intensidad de la luz

Ecuación

La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energía siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.

Por ello con la intensidad es igual a

$ I = c \epsilon $

ID:(12134, 0)


Intensidad del cuerpo negro

Ecuación

Con energía del foton $J$, intensidad de la luz $W/m^2$ y velocidad de la luz $m/s$ la intensidad de la luz es

$ I = c \epsilon $



y como la densidad espectral es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$



se tiene que la distribución de la intensidad es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ y velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

Esta es la forma clásica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.

ID:(12125, 0)


0
Video

Video: Estadística de Fotones