User:


Estadística de Fotones
Storyboard

>Model

ID:(502, 0)


Bosons
Definition

Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)


Estadística de Fotones
Description

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
$\omega$
omega
Angular frequency
rad/s
$k_i$
k_i
Componente $i$ del vector de onda
1/m
$h$
h
Constante de Planck
J s
$\hbar$
hbar
Constante de Planck dividida por $2\pi$
J s
$\epsilon(\nu)$
epsilon_nu
Densidad de energía en función de la frecuencia
1/m^3
$\epsilon(\omega)$
epsilon_omega
Densidad de energía en función de la frecuencia angular
1/m^3
$n(\omega)$
n_omega
Densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular
1/m^3
$I(\nu)$
I_nu
Distribución de la intensidad de la luz en la frecuencia
W/m^2
$\epsilon_r$
epsilon_r
Energía del boson en el estado $r$
J
$\epsilon$
epsilon
Energía del foton
J
$\epsilon_r$
epsilon_r
Energía del fotones en el estado $r$
J
$\beta$
beta
Factor beta
1/J
$\nu$
nu
Frecuencia
Hz
$Z$
Z
Función partición de los fotones
-
$Z_r$
Z_r
Función partición de los fotones en el estado r
-
$I$
I
Intensidad de la luz
W/m^2
$L$
L
Largo de la caja
m
$\ln Z_r$
ln Z_r
Logaritmo de la función partición de los fotones
-
$k$
k
Magnitud del vector de onda
1/m
$n$
n
Numero de estados
-
$n_r$
n_r
Numero de fotones en el estado $r$
-
$n_i$
n_i
Numero de modos para la dirección $i$
-
$\bar{n}_r$
mn_r
Numero medio de bosones en el estado $r$
-
$\bar{n}_r$
mn_r
Numero medio de fermiones en el estado $r$
-
$T$
T
Period
s
$c$
c
Velocidad de la luz
m/s
$V$
V
Volumen
m^3

Calculations

First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used


Equations

Examples

Las part culas en mec nica cu ntica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPart culas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las funci n de onda es sim trica, es decir es invariante ante la permutaci n entre dos part culas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estad sticas de Bose-Einstein.

(ID 704)

En el caso de los fot nes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energ a \epsilon_r y su numero no esta limitado. Si existen n_r fot nes de dicha energ a, la energ a total ser \\n\\n

$E=n_r\epsilon_r$



Como el n mero de fot nes no es fijo, la funci n partici n con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



debe considerar que existen todos los posibles estados n_r=0,1,2,\ldots por lo que se deben sumar las distintas alternativas con

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$

(ID 9565)

La expresi n de la funci n partici n para fotones con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ and numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



corresponde a suma es una serie geom trica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ and numero de fotones en el estado $r$ $-$

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$

(ID 3668)

El numero medio de part culas se puede calcular ponderando el numero n_r con la probabilidad de existencia de n_r part culas dado por la distribuci n can nica:\\n\\n

$e^{-\beta n_r\epsilon_r}$

\\n\\no sea que\\n\\n

$\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}$



lo que con la funci n partici n es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ and numero de fotones en el estado $r$ $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }$



se puede escribir con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, función partición de los fotones $-$ and numero de fotones en el estado $r$ $-$ como

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$

(ID 9566)

Como funci n partici n de los fotones es con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ and función partición de los fotones en el estado r $-$ igual a

$ Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}$



y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado r es con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ and numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }$



Calculando el n mero medio $\bar{n_r}$ se obtiene con energía del fotones en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de los fotones $-$ and numero medio de fermiones en el estado $r$ $-$ la llamada 'distribuci n de cuerpo negro':

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$

que corresponde a la distribuci n de Planck y describe el espectro de radiaciones.

(ID 3669)

Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo L los largos de onda posibles son aquellos que son fracciones de esta\\n\\n

$\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }$



donde n es un numero entero y se ala el estado. Por ello con tenemos que vector de onda tiene que ser

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

con i el eje correspondiente (x,y,z).

(ID 12126)

Como los modos en una caja son con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$ and numero de modos para la dirección $i$ $-$

$ k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }$

\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n

$ dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk$



en donde se supone que L^3 es el volumen V. Por ello que con componente $i$ del vector de onda $1/m$, largo de la caja $m$ and numero de modos para la dirección $i$ $-$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $

(ID 12127)

La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.

Con es por ello

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$

(ID 12128)

El numero de modos en funci n del vector de onda es con magnitud del vector de onda $1/m$, numero de estados $-$ and volumen $m^3$ es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk $



Con la relaci n entre la frecuencia angular y el vector de onda que con angular frequency $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ and velocidad de la luz $m/s$ es

$ \omega = c \mid\vec{k}\mid$



con lo que se deduce que con angular frequency $rad/s$, magnitud del vector de onda $1/m$ and velocidad de la luz $m/s$ se tiene que el numero de modos en funci n de la frecuencia angular es

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $

(ID 12130)

La energ a del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por 2\pi.

Por ello con es

$ \epsilon = \hbar \omega $

(ID 12131)

Como la energ a del foton definida con angular frequency $rad/s$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ and energía del foton $J$ como

$ \epsilon = \hbar \omega $



y el numero de estados es con angular frequency $rad/s$, numero de estados $-$, velocidad de la luz $m/s$ and volumen $m^3$ igual a

$ d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega $



por lo que la distribuci n con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ and numero medio de bosones en el estado $r$ $-$

$ \bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}$



por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribuci n que con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor beta $1/J$ and numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ es por ello

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

(ID 12129)

Como la energ a es con angular frequency $rad/s$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ and energía del foton $J$ igual a

$ \epsilon = \hbar \omega $



y la distribuci n de modos con angular frequency $rad/s$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$ and velocidad de la luz $m/s$ es

$ n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que la distribuci n de energ a es con angular frequency $rad/s$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$ and velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$

(ID 12124)

The angular frequency ($\omega$) is with the period ($T$) equal to

$ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

(ID 12335)

Con angular frequency $rad/s$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia angular $1/m^3$, factor beta $1/J$ and velocidad de la luz $m/s$ el espectro del cuerpo negro en funci n de la frecuencia angular es

$ \epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}$



por lo que con es

$ \epsilon = \hbar \omega $



por lo que recordando que la constante de Planck es h = 2\pi\hbar el espectro del cuerpo negro con igual a

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

(ID 12133)

La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energ a siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.

Por ello con la intensidad es igual a

$ I = c \epsilon $

(ID 12134)

Con energía del foton $J$, intensidad de la luz $W/m^2$ and velocidad de la luz $m/s$ la intensidad de la luz es

$ I = c \epsilon $



y como la densidad espectral es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ and velocidad de la luz $m/s$

$ \epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$



se tiene que la distribuci n de la intensidad es con constante de Planck $J s$, densidad de energía en función de la frecuencia $1/m^3$, factor beta $1/J$, frecuencia $Hz$ and velocidad de la luz $m/s$ igual a

$ I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}$

Esta es la forma cl sica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.

(ID 12125)

ID:(502, 0)