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Estadística de Fotones

Storyboard

>Model

ID:(502, 0)



Bosons

Description

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Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)



Función partición para un numero indefinido de partículas

Equation

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En el caso de los fotónes, estos corresponde a modos en una cavidad. Si el modo fundamental tiene una energía \epsilon_r y su numero no esta limitado. Si existen n_r fotónes de dicha energía, la energía total será\\n\\n

E=n_r\epsilon_r



Como el número de fotónes no es fijo, la función partición con

Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}



debe considerar que existen todos los posibles estados n_r=0,1,2,\ldots por lo que se deben sumar las distintas alternativas con

Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }

ID:(9565, 0)



Partition Function Photon

Equation

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La expresión de la función partición para fotones con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, función partición de los fotones - and numero de fotones en el estado r -

Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }



corresponde a suma es una serie geométrica, por lo que se obtiene con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, función partición de los fotones - and numero de fotones en el estado r -

Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}

ID:(3668, 0)



Numero de fotones

Equation

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El numero medio de partículas se puede calcular ponderando el numero n_r con la probabilidad de existencia de n_r partículas dado por la distribución canónica:\\n\\n

e^{-\beta n_r\epsilon_r}

\\n\\no sea que\\n\\n

\bar{n_r}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n_r}n_re^{-\beta n_r\epsilon_r}}{\displaystyle\sum_{n_r}e^{-\beta n_r\epsilon_r}}



lo que con la función partición es con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, función partición de los fotones - and numero de fotones en el estado r - igual a

Z =\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \epsilon_r }



se puede escribir con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, función partición de los fotones - and numero de fotones en el estado r - como

\bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }

ID:(9566, 0)



Estadística de fotones

Equation

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Como función partición de los fotones es con energía del boson en el estado r J, factor beta 1/J and función partición de los fotones en el estado r - igual a

Z =\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \epsilon_r }}



y el numero medio se calcula mediante de fotones en el estado r es con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, logaritmo de la función partición de los fotones - and numero medio de fermiones en el estado r -

\bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_r }{\partial \epsilon_r }



Calculando el número medio \bar{n_r} se obtiene con energía del fotones en el estado r J, factor beta 1/J, logaritmo de la función partición de los fotones - and numero medio de fermiones en el estado r - la llamada 'distribución de cuerpo negro':

\bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}

que corresponde a la distribución de Planck y describe el espectro de radiaciones.

ID:(3669, 0)



Modos de fotones en una caja

Equation

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Si se modelan los fotones como ondas estacionarias en una caja de largo L los largos de onda posibles son aquellos que son fracciones de esta\\n\\n

\lambda =\displaystyle\frac{ L }{ n }



donde n es un numero entero y señala el estado. Por ello con tenemos que vector de onda tiene que ser

k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }

con i el eje correspondiente (x,y,z).

ID:(12126, 0)



Numero de modos en función del vector de onda

Equation

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Como los modos en una caja son con componente i del vector de onda 1/m, largo de la caja m, numero de modos para la dirección i - and pi rad

k_i =\displaystyle\frac{2 \pi n_i }{ L }

\\n\\nse tiene en una caja tridimensional que\\n\\n

dn_x dn_y dn_z = 4 \pi n^2 dn =\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} dk_x, dk_y, dk_z=\displaystyle\frac{ L^3}{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k^2 dk



en donde se supone que L^3 es el volumen V. Por ello que con componente i del vector de onda 1/m, largo de la caja m, numero de modos para la dirección i - and pi rad es

d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk

ID:(12127, 0)



Frecuencia angular en función del vector de onda

Equation

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La frecuencia angular de los fotones es proporcional al vector de onda siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz.

Con es por ello

\omega = c \mid\vec{k}\mid

ID:(12128, 0)



Numero de modos en función de la frecuencia angular

Equation

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El numero de modos en función del vector de onda es con magnitud del vector de onda 1/m, numero de estados -, pi rad and volumen m^3 es

d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi )^3} 4\pi k ^2 dk



Con la relación entre la frecuencia angular y el vector de onda que con angular frequency rad/s, magnitud del vector de onda 1/m and velocidad de la luz m/s es

\omega = c \mid\vec{k}\mid



con lo que se deduce que con angular frequency rad/s, magnitud del vector de onda 1/m and velocidad de la luz m/s se tiene que el numero de modos en función de la frecuencia angular es

d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega

ID:(12130, 0)



Energía del foton

Equation

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La energía del foton es proporcional a la frecuencia angular siendo la constante de proporcionalidad igual a la constante de Planck dividida por 2\pi.

Por ello con es

\epsilon = \hbar \omega

ID:(12131, 0)



Densidad de la distribución de frecuencia angular

Equation

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Como la energía del foton definida con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s and energía del foton J como

\epsilon = \hbar \omega



y el numero de estados es con angular frequency rad/s, numero de estados -, pi rad, velocidad de la luz m/s and volumen m^3 igual a

d^3n =\displaystyle\frac{ V }{(2 \pi c )^3} 4\pi \omega ^2 d\omega



por lo que la distribución con energía del boson en el estado r J, factor beta 1/J and numero medio de bosones en el estado r -

\bar{n}_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \beta \epsilon_r }-1}



por lo que si dividimos el resultado por el volumen obtenemos la densidad de la distribución que con energía del boson en el estado r J, factor beta 1/J and numero medio de bosones en el estado r - es por ello

n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}

ID:(12129, 0)



Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia angular

Equation

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Como la energía es con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s and energía del foton J igual a

\epsilon = \hbar \omega



y la distribución de modos con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular 1/m^3, factor beta 1/J, pi rad and velocidad de la luz m/s es

n(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \omega ^2 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}



por lo que la distribución de energía es con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s, densidad de numero de estados en función de la frecuencia angular 1/m^3, factor beta 1/J, pi rad and velocidad de la luz m/s igual a

\epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}

ID:(12124, 0)



Angular frequency

Equation

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The angular frequency (\omega) is with the period (T) equal to

\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }

\omega
Angular frequency
rad/s
9010
T
Period
s
5078
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
Z =1/(1-exp(-beta * epsilon_r )) n_r =1/(exp( beta * e_r )-1) Z =@SUM(exp(- beta * n_r * e_r , n_r , 0 , infty ) mn_r =-(1/ beta )*(d ln Z_r /d e_r ) epsilon(omega) * domega = 4* pi * hbar * omega ^3 * domega /((2* pi * c )^3 * (exp( beta * hbar * omega ) - 1)) I(nu) * dnu = 2* h * nu ^3 * dnu /( c ^2 * (exp( beta * h * nu ) - 1)) k_i = 2* pi * n_i / L_i d^3n = V *4* pi * k ^2 * dk / (2* pi )^3 omega = c *| &k | n(omega) * domega = 4* pi * omega ^2 * domega /((2* pi * c )^3 * (exp( beta * hbar * omega ) - 1)) d^3n = V *4* pi * omega ^2 * domega / (2* pi * c )^3 epsilon = hbar * omega epsilon(nu) * dnu = 2* h * nu ^3 * dnu /( c ^3 * (exp( beta * h * nu ) - 1)) I = c * epsilon omega = 2* pi / T omegak_ihhbarepsilon_nuepsilon_omegan_omegaI_nuepsilon_repsilonepsilon_rbetanuZZ_rILln Z_rknn_rn_imn_rmn_rTpicV

ID:(12335, 0)



Espectro de cuerpo negro en función de la frecuencia

Equation

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Con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s, densidad de energía en función de la frecuencia angular 1/m^3, factor beta 1/J, pi rad and velocidad de la luz m/s el espectro del cuerpo negro en función de la frecuencia angular es

\epsilon(\omega) d\omega = \displaystyle\frac{ 4 \pi }{(2 \pi c )^3}\displaystyle\frac{ \hbar \omega ^3 d\omega }{ e^{ \beta \hbar \omega } - 1}



por lo que con es

\epsilon = \hbar \omega



por lo que recordando que la constante de Planck es h = 2\pi\hbar el espectro del cuerpo negro con angular frequency rad/s, constante de Planck dividida por 2\pi J s, densidad de energía en función de la frecuencia angular 1/m^3, factor beta 1/J, pi rad and velocidad de la luz m/s igual a

\epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}

ID:(12133, 0)



Intensidad de la luz

Equation

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La intensidad de la luz es proporcional a la densidad de energía siendo la constante de proporcionalidad igual a la velocidad de la luz.

Por ello con la intensidad es igual a

I = c \epsilon

ID:(12134, 0)



Intensidad del cuerpo negro

Equation

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Con energía del foton J, intensidad de la luz W/m^2 and velocidad de la luz m/s la intensidad de la luz es

I = c \epsilon



y como la densidad espectral es con constante de Planck J s, densidad de energía en función de la frecuencia 1/m^3, factor beta 1/J, frecuencia Hz and velocidad de la luz m/s

\epsilon(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^3}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}



se tiene que la distribución de la intensidad es con constante de Planck J s, densidad de energía en función de la frecuencia 1/m^3, factor beta 1/J, frecuencia Hz and velocidad de la luz m/s igual a

I(\nu) d\nu = \displaystyle\frac{ 2 h \nu ^3 }{ c ^2}\displaystyle\frac{ d\nu }{ e^{ \beta h \nu } - 1}

Esta es la forma clásica de la intensidad irradiada por un cuerpo negro y se cumple en buena medida por ejemplo por nuestro sol.

ID:(12125, 0)



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