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La fuerza generalizada permite calcular una serie de parámetros macroscopicos en función de los estados microscópicos. En esta narrativa se extiende dicho concepto al calculo de la función partición calculada de los estados microscópicos.

>Modelo

ID:(1571, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la fuerza generalizada X_i se puede expresar en función de la derivada de la energía con

\\n\\nEl promedio se calcula con el promedio ponderado por a distribución canónica\\n\\n

$\overline{X}_i=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_r X_{i,r} e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_r e^{-\beta E_r}}$

\\n\\npor lo que con\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}e^{-\beta E_r}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial E_r} e^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x_i}=-\beta e^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x_i}$

\\n\\nse obtiene\\n\\n

$\displaystyle\sum_r X_{i,r} e^{-\beta E_r} = -\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\sum_re^{-\beta E_r}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial x}$

\\n\\ny la normalización con Z se obtiene que\\n\\n

$\overline{X}_i=\displaystyle\frac{1}{\beta Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial x_i}$

lo que se puede escribir con como:

ID:(3531, 0)

Ecuación

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El trabajo \delta W se puede expresar como la suma del productos de las fuerzas generalizadas y los diferenciales exactos de las variables.

Con se tiene

donde el \delta no recuerda que el trabajo es un diferencial inexacto.

ID:(3532, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como el trabajo \delta W se puede escribir en función de la presión media \bar{p} y del diferencial del volumen dV como\\n\\n

$\delta W=pdV$

concluimos que la presión es una fuerza generalizada asociada a la variable V que corresponde al volumen. Por ello la presión en función de la función partición es con :

ID:(3533, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se supone que la función partición es una función de una variable extensible x (por ejemplo del volumen) y de \beta el diferencial del logaritmo de Z sera\\n\\n

$d\ln Z=\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial x}dx+\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial \beta}d\beta$

Como la fuerza generalizada es con beta $-$, fuerza generalizada $-$, función Partición $-$ y variable extensiva $-$

el primer termino se reduce a \beta X dx que corresponde a \beta veces el trabajo \delta W. El segundo termino se asocia al promedio de la energía interna ya que con

\\n\\npor lo que\\n\\n

$d\ln Z=\beta\delta W-Ud\beta$

\\n\\no\\n\\n

$\delta W=\displaystyle\frac{1}{\beta}\left(d\ln Z+Ud\beta\right)$

\\n\\nCon la primera ley de la termodinámica\\n\\n

$\delta Q=TdS=\delta W+dU$

\\n\\ny si se recuerda que \beta=1/k_BT se puede escribir para la entropía como\\n\\n

$dS=k_B(d\ln Z+ Ud\beta +\beta dU )=k_B(d\ln Z+d(\beta U))=k_Bd(\ln Z+\beta U)$

por lo que tras integrar se tiene que

ID:(3892, 0)

Ecuación

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Con la energía interna expresada como

con

la ecuación de la entropia

se puede escribir en función de la función partición

ID:(9468, 0)

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Video: Fuerza generalizada