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Nombre d'états et probabilités
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Afin de systématiser l'étude d'un système en utilisant la méthode de comptage des états, nous cherchons à établir une relation directe entre la probabilité de trouver le système à une énergie particulière et le nombre d'états associés.
ID:(493, 0)
Système en contact avec le réservoir thermique
Équation
Supposons qu'un système avec une énergie $E_r$ soit en contact avec un réservoir thermique ayant une énergie $E'$.
On entend par réservoir thermique un système dont la température reste constante. Une façon d'obtenir cela est d'utiliser un réservoir de grande taille (comme un bain-marie).
Si les deux systèmes sont isolés de leur environnement, la somme de leurs énergies restera constante, ce qui peut s'exprimer avec de la manière suivante :
| $E_0=E_r+E_h$ |
.
ID:(3520, 0)
Probabilité de trouver le système dans un état $r$
Équation
La probabilité de trouver le système dans un état où il a une énergie $E_r$, tandis que le réservoir a une énergie $E' = E_0 - E_r$, est définie comme
$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$
où $C$ est une constante ajustée pour garantir que la probabilité soit normalisée.
Puisque $P_r$ représente la probabilité de trouver le système dans un état particulier $r$, le nombre d'états dans l'état $r$ est égal à un. En d'autres termes, cela signifie que
$\Omega_r(E_r) = 1$
Par conséquent, la probabilité peut être exprimée par rapport à comme suit :
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
ID:(3521, 0)
Condition de normalisation
Équation
Si nous additionnons les probabilités de chaque état $r$, le résultat devrait être égal à un. Cela signifie qu'il est normalisé avec la :
| $\sum_rP_r=1$ |
Ceci équivaut à dire que le système doit nécessairement se trouver dans l'un des états possibles.
ID:(3522, 0)
Evolution du nombre d'états dans les séries de Taylor
Équation
Comme l'énergie $E_r$ est bien inférieure à l'énergie totale $E_0$, le logarithme du nombre d'états peut être développé autour de l'énergie $E_r$ comme suit :
$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$
Étant donné que la dérivée du logarithme du nombre d'états est égale à la fonction bêta :
$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$
Il en résulte que, dans une première approximation avec ,
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
.
ID:(3523, 0)
Équation pour la probabilité d'état $r$
Équation
Si nous substituons l'expression
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
avec
dans l'équation de probabilité avec ,
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
,
nous obtenons avec la probabilité
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
,
où $C$ est une constante à déterminer en utilisant la condition de normalisation.
L'expression $e^{-\beta E}$ est appelée le facteur de Boltzmann, et la distribution qu'elle décrit est connue sous le nom de distribution canonique.
ID:(3524, 0)
Constante de normalisation
Équation
Sous la condition de normalisation avec ,
| $\sum_rP_r=1$ |
,
on obtient que la constante de normalisation $C$ est égale à :
| $C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}$ |
.
ID:(3525, 0)
0
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