Angenommen, ein System mit der Energie $E_r$ steht in Kontakt mit einem thermischen Reservoir mit der Energie $E'$.

Ein thermisches Reservoir versteht man als ein System, bei dem die Temperatur konstant bleibt. Eine M glichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, ein gro es Reservoir zu verwenden (wie ein Wasserbad).

Wenn beide Systeme von ihrer Umgebung isoliert sind, bleibt die Summe ihrer Energien konstant, was mit list ausgedr ckt werden kann als

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem Zustand zu finden, bei dem es eine Energie $E_r$ aufweist, w hrend das Reservoir eine Energie $E' = E_0 - E_r$ hat, wird definiert als

$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$

wobei $C$ eine Konstante ist, die angepasst wird, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit normiert ist.

Da $P_r$ die Wahrscheinlichkeit repr sentiert, das System in einem bestimmten Zustand $r$ zu finden, betr gt die Anzahl der Zust nde im Zustand $r$ eins. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass

$\Omega_r(E_r) = 1$

Daher kann die Wahrscheinlichkeit im Zusammenhang mit list ausgedr ckt werden als

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten jedes Zustands $r$ addieren, sollte das Ergebnis eins ergeben. Dies bedeutet, dass es mit der list normalisiert ist:

Dies entspricht der Feststellung, dass das System zwangsl ufig in einem der m glichen Zust nde sein muss.

Da die Energie $E_r$ viel kleiner ist als die Gesamtenergie $E_0$, kann der Logarithmus der Anzahl der Zust nde um die Energie $E_r$ entwickelt werden, wie folgt:

$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$

Da die Ableitung des Logarithmus der Anzahl der Zust nde der Beta-Funktion entspricht:

$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$

K nnen wir schlussfolgern, dass, in einer ersten N herung mit list,

Wenn wir den Ausdruck

equation=3523

durch list=3523

in die Gleichung f r die Wahrscheinlichkeit mit list=3521 ersetzen,

,

erhalten wir mit list die Wahrscheinlichkeit

wobei $C$ eine Konstante ist, die unter Verwendung der Normalisierungsbedingung bestimmt werden muss.

Der Ausdruck $e^{-\beta E}$ wird als Boltzmann-Faktor bezeichnet, und die von ihm beschriebene Verteilung wird als kanonische Verteilung bezeichnet.

Unter der Normalisierungsbedingung mit list=3522,

,

ergibt sich, dass die Normalisierungskonstante $C$ gleich list ist: