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Um das Studium eines Systems mithilfe der Methode des Zustandszählens systematisch zu gestalten, suchen wir nach einer direkten Verbindung zwischen der Wahrscheinlichkeit, das System bei einer bestimmten Energie zu finden, und der Anzahl der zugehörigen Zustände.

>Modell

ID:(493, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Angenommen, ein System mit der Energie $E_r$ steht in Kontakt mit einem thermischen Reservoir mit der Energie $E'$.

Ein thermisches Reservoir versteht man als ein System, bei dem die Temperatur konstant bleibt. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, ein großes Reservoir zu verwenden (wie ein Wasserbad).

Wenn beide Systeme von ihrer Umgebung isoliert sind, bleibt die Summe ihrer Energien konstant, was mit ausgedrückt werden kann als

.

ID:(3520, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem Zustand zu finden, bei dem es eine Energie $E_r$ aufweist, während das Reservoir eine Energie $E' = E_0 - E_r$ hat, wird definiert als

$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$

wobei $C$ eine Konstante ist, die angepasst wird, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit normiert ist.

Da $P_r$ die Wahrscheinlichkeit repräsentiert, das System in einem bestimmten Zustand $r$ zu finden, beträgt die Anzahl der Zustände im Zustand $r$ eins. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass

$\Omega_r(E_r) = 1$

Daher kann die Wahrscheinlichkeit im Zusammenhang mit ausgedrückt werden als

ID:(3521, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten jedes Zustands $r$ addieren, sollte das Ergebnis eins ergeben. Dies bedeutet, dass es mit der normalisiert ist:

Dies entspricht der Feststellung, dass das System zwangsläufig in einem der möglichen Zustände sein muss.

ID:(3522, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da die Energie $E_r$ viel kleiner ist als die Gesamtenergie $E_0$, kann der Logarithmus der Anzahl der Zustände um die Energie $E_r$ entwickelt werden, wie folgt:

$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$

Da die Ableitung des Logarithmus der Anzahl der Zustände der Beta-Funktion entspricht:

$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$

Können wir schlussfolgern, dass, in einer ersten Näherung mit ,

.

ID:(3523, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir den Ausdruck

durch beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$ und número de Estados $-$

in die Gleichung für die Wahrscheinlichkeit mit constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, número de Estados $-$ und probabilidad del estado $r$ $-$ ersetzen,

,

erhalten wir mit constante de Normalización $-$, energía del estado $r$ $J$, energía del sistema $J$, número de Estados $-$ und probabilidad del estado $r$ $-$ die Wahrscheinlichkeit

,

wobei $C$ eine Konstante ist, die unter Verwendung der Normalisierungsbedingung bestimmt werden muss.

Der Ausdruck $e^{-\beta E}$ wird als Boltzmann-Faktor bezeichnet, und die von ihm beschriebene Verteilung wird als kanonische Verteilung bezeichnet.

ID:(3524, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Unter der Normalisierungsbedingung mit estado $r$ $-$ und probabilidad del estado $r$ $-$,

,

ergibt sich, dass die Normalisierungskonstante $C$ gleich estado $r$ $-$ und probabilidad del estado $r$ $-$ ist:

.

ID:(3525, 0)

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Video

Video: Anzahl der Zustände und Wahrscheinlichkeiten