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Calculo Microscópico
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En base a las funciones partición es posible calcular las propiedades macroscopicas que describen a los sistemas desde los modelos microscópicos.

>Modelo

ID:(176, 0)


Número de estados de un gas ideal
Ecuación

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Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N partículas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada partícula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$



Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el número de estados es con

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversión de pasar de contar estados discretos a la aproximación continua.

ID:(3609, 0)


Número de estados en relación a la función partición
Ecuación

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Como la entropía es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $



y su relación con la función partición es con

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



se tiene la relación entre número de estados \Omega y función partición Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $

ID:(3608, 0)


Función partición de un gas ideal por número de estados
Ecuación

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Con la relación entre numero de estados y función partición con beta $1/J$, energía del sistema $J$, función partición $-$ y numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $



y la expresión para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$



se obtiene la expresión pata la función partición con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $

ID:(3610, 0)


Función partición de un gas ideal mediante integración
Ecuación

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Si se busca calcular la función de partición de un gas ideal se debe realizar la integración del exponencial de menos beta por la energías sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posición da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$



Con ello la función partición del gas ideal resulta con

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversión de pasar de contar estados discretos a la aproximación continua.

ID:(7971, 0)


Relación energía de partícula y energía interna
Ecuación

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La energía interna en función de la función partición es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



y como la función partición es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $



se tiene que la energía interna es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ y volumen $m^3$ igual a la energía del sistema:

$ U = E $

ID:(3611, 0)


Energía interna de un gas ideal
Ecuación

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Como la función partición de un gas ideal con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$ es igual a

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



por lo que la energía interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



resulta con :

$ U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T $

ID:(3615, 0)


Presión de un gas ideal
Ecuación

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Como la presión en función de la función partición con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



donde V es el volumen, Z es la función partición y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



se tiene que la presión es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ y volumen $m^3$

$ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuación de los gases ideales.

ID:(3614, 0)


Regla de derivación
Ecuación

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En la mecánica estadística es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una función que se ha expresado en función de \beta con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$



se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

ID:(1385, 0)


Capacidad calórica a volumen constante
Ecuación

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Como la capacidad calórica a volumen constante se define con como

$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $



y la energía interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



se tiene que beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

ID:(4760, 0)


Compresibilidad y la función partición
Ecuación

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Como la compresibilidad es con igual a

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



y la presión se calcula de la función partición con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

ID:(4761, 0)


Dilatación termica y la función partición
Ecuación

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Con la definición de la dilatación térmica con

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $



Para calcular la variación de la presión con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



se puede escribir con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$



Como con la presión es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que con

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

ID:(4764, 0)


Capacidad calórica a presión constante
Ecuación

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Como la relación entre las capacidades clórica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $



Como la entalpia se puede calcular con de la función partición mediante

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



se tiene que con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



es con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura $K$

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

ID:(4765, 0)


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