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Microscopic Calculation
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Based on the partition functions, it is possible to calculate the macroscopic properties that describe the systems from the microscopic models.

>Model

ID:(176, 0)


Number of states of a ideal gas
Equation

>Top, >Model


Para el calculo del numero de estados se integraba sobre el espacio de fase en el volumen y en el momento para las N partículas.\\n\\n

$\Omega(E,V)=\displaystyle\int_V\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i$

\\n\\nDe la integral de las posiciones se obtiene el volumen V para cada partícula y V^N para el sistema. En el caso de la integral sobre el momento se debe considerar que la suma de todos los cuadrados de los momentos debe ser igual a 2mE\\n\\n

$\sum_i\vec{p}_i^2=2mE$



Como esto corresponde a una esfera en el espacio 3N dimensional la integral en el momento es igual al radio \sqrt{2mE} elevado a 3N-1\sim 3N por lo que el número de estados es con

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversión de pasar de contar estados discretos a la aproximación continua.

ID:(3609, 0)


Number of states in relationship partition function
Equation

>Top, >Model


Como la entropía es proporcional al logaritmo del numero de estados con

$ S \equiv k_B \ln \Omega $



y su relación con la función partición es con

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



se tiene la relación entre número de estados \Omega y función partición Z con

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $

ID:(3608, 0)


Partition function of an ideal gas by number of states
Equation

>Top, >Model


Con la relación entre numero de estados y función partición con beta $1/J$, energía del sistema $J$, función partición $-$ and numero de estados $-$ es

$\ln \Omega = \beta E +\ln Z $



y la expresión para el numero de estados del gas ideal con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$ \Omega = B V ^ N E ^{3 N /2}$



se obtiene la expresión pata la función partición con constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, numero de estados $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $

ID:(3610, 0)


Partition function of an ideal gas through integration
Equation

>Top, >Model


Si se busca calcular la función de partición de un gas ideal se debe realizar la integración del exponencial de menos beta por la energías sobre el espacio de fase:\\n\\n

$Z(T,V)=\displaystyle\int\prod_id^3q_i\int\prod_id^3p_i e^{-\beta\sum_ip_i^2/2m}$

\\n\\nLa integral de la posición da el volumen mientras que la integral sobre la gaussiana da\\n\\n

$\displaystyle\int d^3p_i e^{-\beta p_i^2/2m}=\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3/2}$



Con ello la función partición del gas ideal resulta con

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$

con B una constante propia de conversión de pasar de contar estados discretos a la aproximación continua.

ID:(7971, 0)


Internal energy of a ideal gas
Equation

>Top, >Model


La energía interna en función de la función partición es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



y como la función partición es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$

$\ln( Z ) =\ln( B V ^ N E ^{3 N /2})- \beta E $



se tiene que la energía interna es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, energía del sistema $J$, función partición $-$, numero de partículas $-$ and volumen $m^3$ igual a la energía del sistema:

$ U = E $

ID:(3611, 0)


Energy of an ideal gas
Equation

>Top, >Model


Como la función partición de un gas ideal con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and volumen $m^3$ es igual a

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



por lo que la energía interna, que se calcula con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



resulta con :

$ U =\displaystyle\frac{3}{2} N k_B T $

ID:(3615, 0)


Pressure of an ideal gas
Equation

>Top, >Model


Como la presión en función de la función partición con es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



donde V es el volumen, Z es la función partición y \beta es el inverso de la constante de Boltzman k y la temperatura T.

Como la función partición de un gas ideal es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and volumen $m^3$

$ Z = B V ^ N \left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ \beta }\right)^{3 N /2}$



se tiene que la presión es con beta $1/J$, constante de normalización $-$, función partición $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, pi $rad$ and volumen $m^3$

$ p =\displaystyle\frac{ N k_B T }{ V }$

que corresponde a la ecuación de los gases ideales.

ID:(3614, 0)


Derivation rule
Equation

>Top, >Model


En la mecánica estadística es frecuente de que se tenga que drivar respecto a la temperatura T una función que se ha expresado en función de \beta con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

\\n\\nComo\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial\beta}{\partial T}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}=-k\beta^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}$



se tiene que con

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

ID:(1385, 0)


Heat capacity at constant volume
Equation

>Top, >Model


Como la capacidad calórica a volumen constante se define con como

$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $



y la energía interna U es con

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



se tiene que beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$

ID:(4760, 0)


Compresibilidad de un gas ideal
Equation

>Top, >Model


Como la compresibilidad es con igual a

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



y la presión se calcula de la función partición con mediante

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que la compresibilidad es con igual a

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$

ID:(4761, 0)


Thermal expansion and partition function
Equation

>Top, >Model


Con la definición de la dilatación térmica con

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $



Para calcular la variación de la presión con el volumen se puede empelar la compresibilidad que con es

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



se puede escribir con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$

\\n\\ncomo\\n\\n

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_T=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=-k_p\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=k_pk_B\beta^2\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial\beta}\right)_V$



Como con la presión es igual a

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



se tiene que con

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$

ID:(4764, 0)


Heat capacity at constant pressure
Equation

>Top, >Model


Como la relación entre las capacidades clórica se tiene que esta se puede calcular de la entalpia con mediante

$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $



Como la entalpia se puede calcular con de la función partición mediante

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



se tiene que con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$



es con beta $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ and temperatura $K$

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$

ID:(4765, 0)


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