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Macrocanonical Partition Function
Storyboard

>Model

ID:(473, 0)


Grand partition function
Equation

>Top, >Model


Si la función partición para la distribución canónica con un número fijo de partículas N es con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



donde r son los estados posibles. Para definir la gran función partición debemos sumar sobre el numero de partículas considerando que la expresión cumple la distribución gran canónica e^{-\alpha N}. Por ello se tiene que con

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$

ID:(3654, 0)


Partition function
Equation

>Top, >Model


The average energy is determined with respect to

$\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$



and can be expressed as follows:

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{\sum_re^{-\beta E_r}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_re^{-\beta E_r}$



This can be summarized as

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$



where we introduce the so-called partition function with :

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$

The letter $Z$ originates from the German word Zustandsumme (Zustand=State, Summe=sum).

The partition function is a generating function, meaning it generates other functions that have physical significance.

ID:(3527, 0)


Mean energy
Equation

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Con la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$



se puede calcular nuevamente la energía media como la derivada en beta del logaritmo de la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$

$ U =-\displaystyle\frac{\partial\ln{ \cal Z }}{\partial \beta }$

ID:(3652, 0)


Number of particles
Equation

>Top, >Model


En analogía a como se calcula la energía media derivando el logaritmo de la función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$



en beta se puede calcular el número medio derivando respecto de alfa con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$:

$ \bar{N} =-\displaystyle\frac{ \partial \cal{\ln Z} }{ \partial \alpha }$

ID:(3645, 0)


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