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Macrocanonical Partition Function

Storyboard

>Model

ID:(473, 0)



Grand partition function

Equation

>Top, >Model


Si la función partición para la distribución canónica con un número fijo de partículas N es con

Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}



donde r son los estados posibles. Para definir la gran función partición debemos sumar sobre el numero de partículas considerando que la expresión cumple la distribución gran canónica e^{-\alpha N}. Por ello se tiene que con

{\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }

ID:(3654, 0)



Partition function

Equation

>Top, >Model


The average energy is determined with respect to

\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}



and can be expressed as follows:

\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{\sum_re^{-\beta E_r}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_re^{-\beta E_r}



This can be summarized as

\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}



where we introduce the so-called partition function with :

Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}

The letter Z originates from the German word Zustandsumme (Zustand=State, Summe=sum).

The partition function is a generating function, meaning it generates other functions that have physical significance.

ID:(3527, 0)



Mean energy

Equation

>Top, >Model


Con la gran función partición con beta 1/J, energía del estado r J, factor alpha -, función partición distribución gran-canónica -, numero de partículas - and numero del estado r J

{\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }



se puede calcular nuevamente la energía media como la derivada en beta del logaritmo de la gran función partición con beta 1/J, energía del estado r J, factor alpha -, función partición distribución gran-canónica -, numero de partículas - and numero del estado r J

U =-\displaystyle\frac{\partial\ln{ \cal Z }}{\partial \beta }

ID:(3652, 0)



Number of particles

Equation

>Top, >Model


En analogía a como se calcula la energía media derivando el logaritmo de la función partición con beta 1/J, energía del estado r J, factor alpha -, función partición distribución gran-canónica -, numero de partículas - and numero del estado r J

{\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }



en beta se puede calcular el número medio derivando respecto de alfa con beta 1/J, energía del estado r J, factor alpha -, función partición distribución gran-canónica -, numero de partículas - and numero del estado r J:

\bar{N} =-\displaystyle\frac{ \partial \cal{\ln Z} }{ \partial \alpha }

ID:(3645, 0)



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Video

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