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Grand partition function
Equation 
Si la función partición para la distribución canónica con un número fijo de partículas
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
donde
| $ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$ |
ID:(3654, 0)
Partition function
Equation
The average energy is determined with respect to
| $\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
and can be expressed as follows:
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{\sum_re^{-\beta E_r}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_re^{-\beta E_r}$
This can be summarized as
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$
where we introduce the so-called partition function with :
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
The letter $Z$ originates from the German word Zustandsumme (Zustand=State, Summe=sum).
The partition function is a generating function, meaning it generates other functions that have physical significance.
ID:(3527, 0)
Mean energy
Equation
Con la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$
| $ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$ |
se puede calcular nuevamente la energía media como la derivada en beta del logaritmo de la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$
| $ U =-\displaystyle\frac{\partial\ln{ \cal Z }}{\partial \beta }$ |
ID:(3652, 0)
Number of particles
Equation
En analogía a como se calcula la energía media derivando el logaritmo de la función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$
| $ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$ |
en beta se puede calcular el número medio derivando respecto de alfa con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ and numero del estado $r$ $J$:
| $ \bar{N} =-\displaystyle\frac{ \partial \cal{\ln Z} }{ \partial \alpha }$ |
ID:(3645, 0)
0
Video
Video: Macrocanonical Partition Function