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Macrocanonical Assembly
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ID:(474, 0)


Energy of a reservoir
Equation

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En el caso de la distribución canónica consideramos un sistema con energía E que estaba en contacto con un segundo sistema de energía E' siendo la energía total con

$ E_0 = E + E_h $

ID:(3647, 0)


Generalization reservoir
Equation

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En el caso de la distribución canónica el reservorio mantiene constante la temperatura del sistema. En este caso se asumió que el número de las partículas no varia.

Una generalización puede ser introducir la posibilidad de que el numero de partícula varíe. En analogía a la energía el reservorio tendrá un numero de partículas N' mientras que el sistema que se esta estudiando tiene un numero N. El total de partículas en ambos sistemas con es por ello

$ N_0 = N + N_h $

con \beta el inverso del producto de la constante de Boltzmann y la temperatura.

ID:(3650, 0)


Canonical distribution
Equation

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Como la probabilidad P(E) de encontrar el sistema con una energía E es proporcional al número e estados\\n\\n

$P(E)=\Omega'(E_0-E)$

\\n\\ny el logaritmo del número de estados se puede aproximar por\\n\\n

$\ln\Omega'(E_0-E)\sim\ln\Omega'(E_0)-\beta E$



se tiene que la probabilidad es con

$ P(E) = C e^{- \beta E }$

con \beta el inverso del producto de la constante de Boltzmann y la temperatura.

Esta distribución se denomina distribución canónica.

ID:(3644, 0)


Grand Canonical Distribution
Equation

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Como la probabilidad de encontrar el sistema con una energía E y con N partículas es proporcional al numero e estados\\n\\n

$P(E,N)=\Omega'(E_0-E,N_0-N)$

\\n\\ny el logaritmo del número de estados se puede aproximar por\\n\\n

$\ln\Omega'(E_0-E)\sim\ln\Omega'(E_0)-\beta E-\alpha N$



se tiene que la probabilidad es con

$ P(E,N) = C e^{- \beta E - \alpha N }$

con \beta el inverso del producto de la constante de Boltzmann y \alpha es menos el potencial químico \mu por el factor beta \beta.

Esta distribución se denomina distribución gran canónica.

ID:(3646, 0)


Probability of finding the system with energy $E$
Equation

>Top, >Model


Como la probabilidad es proporcional al numero de estados se tiene que la probabilidad de que el sistema tenga una energía E será\\n\\n

$P(E)=\Omega(E)\Omega'(E')$

\\n\\nComo el estado del sistema es uno solo\\n\\n

$\Omega(E)=1$



y la energía E' se puede expresar como la energía total E_0 menos la energía E se tiene que con

$ P( E )= \Omega_h( E_0 - E )$

ID:(3648, 0)


Defintion of alpha $(\alpha)$
Equation

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Como la energía E es mucho menor que la energía total E_0 y en forma análoga el número de partículas N es mucho menor que el número total N_0 el número de estados se puede expandir como una serie de Taylor por lo que\\n\\n

$\ln\Omega'(E_0-E,N_0-N)\sim\ln\Omega'(E_0)-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E'}E-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial N'}N$



El factor del termino en el número de partículas N se define como el factor alfa con

$ \alpha \equiv\displaystyle\frac{\partial\ln \Omega }{\partial N_h }$

ID:(3651, 0)


Definition of beta $(\beta)$
Equation

>Top, >Model


Como la energía E es mucho menor que la energía total E_0 el número de estados se puede expandir como una serie de Taylor por lo que\\n\\n

$\ln\Omega'(E_0-E)\sim\ln\Omega'(E_0)-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E'}E$



El factor del termino en la energía E se define como el factor de temperatura beta con

$ \beta \equiv\displaystyle\frac{\partial\ln \Omega }{\partial E_h }$

ID:(3649, 0)


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Video

Video: Ensamble Macrocanónica