Definitions Macroscopic

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There are a number of macroscopic definitions that are defined in thermodynamics and that describe material properties of systems.

>Model

ID:(175, 0)



Definición del coeficiente de dilatación térmica

Equation

>Top, >Model


Si un sistema se calienta este tiende a expandirse. Dicha dilatación se describe comparando la variación del volumen con la temperatura bajo presión constante. El coeficiente de dilatación térmica se define con como

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $

ID:(12040, 0)



Derivada parcial del volumen en la temperatura

Equation

>Top, >Model


Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n

$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$



de la derivada parcial que para el caso de la derivada del volumen en la temperatura es con es

$ DV_{T,p} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial T }\right)_ p $

en donde la función a derivar se escribe tras la letra 'D' y en el subindice se indica la variable en que se deriva y tras el coma aquella que se mantiene constante.

ID:(12032, 0)



Coefficient of thermal expansion

Equation

>Top, >Model


Thermal expansion is defined using presión $Pa$, temperatura $K$, thermic dilatation coefficient $1/K$ and volumen $m^3$ as

$ k_T \equiv \displaystyle\frac{1}{ V } \left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial T }\right)_ p $



When the notation presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ and volumen $m^3$ is employed, the coefficient of thermal expansion is defined as

$ DV_{T,p} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial T }\right)_ p $



The coefficient of thermal expansion itself is defined through presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ and volumen $m^3$ as

$ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$

$k_T$
Thermic dilatation coefficient
$1/K$
$DV_{T,p}$
Variación de volumen en temperatura con presión constante
$m^3/K$
$V$
Volumen
$m^3$

ID:(3605, 0)



Definición del coeficiente de compresibilidad isotérmica

Equation

>Top, >Model


Si a un sistema se le aplica presión tiende comprimirse. Dicha comprensión se describe comparando la variación del volumen con la presión bajo temperatura constante. El coeficiente asociado se denomina la compresibilidad y se define con como

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $

ID:(12039, 0)



Derivada parcial del volumen en la presión

Equation

>Top, >Model


Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n

$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$



de la derivada parcial que para el caso de la derivada del volumen en la presión es con es

$ DV_{p,T} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial p }\right)_ T $

en donde la función a derivar se escribe tras la letra 'D' y en el subindice se indica la variable en que se deriva y tras el coma aquella que se mantiene constante.

ID:(12033, 0)



Isothermal compressibility coefficient

Equation

>Top, >Model


Compression is defined using compresividad isotermica $1/Pa$, presión $Pa$, temperatura $K$ and volumen $m^3$ as

$ \kappa \equiv-\displaystyle\frac{1}{ V }\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\right)_ T $



When the notation presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$ is employed, the compressibility coefficient is defined as

$ DV_{p,T} \equiv\left(\displaystyle\frac{ \partial V }{ \partial p }\right)_ T $



The compressibility coefficient itself is defined through presión $Pa$, temperatura $K$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$ as

$ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$

ID:(3606, 0)



Sound velocity as a derivative of the pressure

Equation

>Top, >Model


Sound is an oscillation of density that propagates and is associated with a corresponding variation in pressure. Therefore, the speed of sound squared ($m^2/s^2$) can be defined as the ratio of the pressure variation ($Pa = kg/m s^2$) to the density ($kg/m^3$). Due to the short time in which this occurs, it is assumed to be a variation at constant entropy. Thus, we can express it using as follows:

$ c ^2=\left(\displaystyle\frac{ \partial p }{ \partial \rho }\right)_ S $

$\rho$
Densidad
$kg/m^3$
$S$
Entropia
$J/K$
$p$
Presión
$Pa$
$c$
Velocidad del sonido
$m/s$

ID:(3607, 0)



Desglose de la velocidad del sonido en el volumen

Equation

>Top, >Model


Si la velocidad del sonido con densidad $kg/m^3$, entropia $J/K$, presión $Pa$ and velocidad del sonido $m/s$ es

$ c ^2=\left(\displaystyle\frac{ \partial p }{ \partial \rho }\right)_ S $

\\n\\nse puede aplicar la regla de la cadena con el volumen\\n\\n

$c^2=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_S$

\\n\\nque si se reescribe invirtiendo las expresiones\\n\\n

$c^2=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial V}\right)_S}$

\\n\\nque se puede reescribir con la nomenclatura\\n\\n

$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$



con densidad $kg/m^3$, entropia $J/K$, presión $Pa$ and velocidad del sonido $m/s$ como

$ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ DV_{p,T} D\rho_{V,S} }$

ID:(12034, 0)



Variación de la densidad en el volumen

Equation

>Top, >Model


Como la densidad es con igual a

$ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

\\n\\nla derivada parcial de la densidad es\\n\\n

$D\rho_{V,S}=\left(\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial V}\right)_S=-\displaystyle\frac{ M }{ V ^2}=-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$



por lo que con se tiene

$ D\rho_{V,S} =-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$

ID:(12035, 0)



Sound velocity calculation

Equation

>Top, >Model


Con variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and velocidad del sonido $m/s$ la velocidad del sonido es

$ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ DV_{p,T} D\rho_{V,S} }$



Con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$ la expresión de la compresibilidad

$ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$



y con densidad $kg/m^3$, variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$ and volumen $m^3$ la variación de la densidad es

$ D\rho_{V,S} =-\displaystyle\frac{ \rho }{ V }$



por lo que con densidad $kg/m^3$, variación de densidad en volumen con entropia constante $kg/m^6$ and volumen $m^3$ se obtiene que la velocidad del sonido es

$ c ^2=\displaystyle\frac{1}{ \kappa \rho }$

ID:(7981, 0)



Definición de la capacidad calórica a volumen constante

Equation

>Top, >Model


La capacidad calórica se define como varia la temperatura con el calor suministrado/retirado que es igual a la temperatura por la variación de la entropia:\\n\\n

$\delta Q = C dT = T dS$



Con la variación de la energía interna es



En el caso de que el volumen es constante la variación del calor es igual a la variación de la energía interna..

Osea con se puede expresar en función de la energía interna

$ C_V = \left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $

ID:(12041, 0)



Constant volume heat capacity

Equation

>Top, >Model


The heat capacity is defined as the change in temperature with respect to the supplied or removed heat. It can be expressed using the equation:

$\delta Q = C dT = T dS$



This equation represents an inexact differential, as it depends on the manner in which the heat is supplied or removed. In particular, when considering a process carried out at constant volume, we define the heat capacity at constant pressure.

In other words:

$ C_V = T DS_{T,V} $

$C_V$
Capacidad calórica con volumen constante
$J/K$
$S$
Entropia
$J/K$
$T$
Temperatura
$K$
$V$
Volumen
$m^3$

Here, $C_V$ represents the heat capacity at constant volume.

ID:(3603, 0)



Derivada parcial de la entropía en la temperatura a volumen constante

Equation

>Top, >Model


Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n

$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$



de la derivada parcial que para el caso de la derivada de la entropia en la temperatura que con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, entropia $J/K$, temperatura $K$ and volumen $m^3$ es

$ C_V = T DS_{T,V} $



se puede reescribir con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, entropia $J/K$, temperatura $K$ and volumen $m^3$ como

$ DS_{T,V} =\displaystyle\frac{ C_V }{ T }$

ID:(12037, 0)



Definición de la capacidad calórica a presión constante

Equation

>Top, >Model


La capacidad calórica se define como varia la temperatura con el calor suministrado/retirado que es igual a la temperatura por la variación de la entropia:\\n\\n

$\delta Q = C dT = T dS$



Con la variación de la entalpia es



En el caso de que la presión es constante la variación del calor es igual a la variación de la entalpia..

Osea con

$ C_p = \left(\displaystyle\frac{\partial H }{\partial T }\right)_ p $

ID:(12042, 0)



Constant pressure heat capacity

Equation

>Top, >Model


Specific heat capacity is defined as the change in temperature with respect to the supplied or extracted heat. It can be expressed by the equation:

$\delta Q = C_p dT = T dS$



This equation is an inexact differential because it depends on how the heat is supplied or extracted. In particular, when considering a constant pressure process, we define the heat capacity at constant pressure.

In other words:

$ C_p = T DS_{T,p} $

where $C_p$ is the heat capacity at constant pressure.

ID:(3604, 0)



Derivada parcial de la entropía en la temperatura a presión constante

Equation

>Top, >Model


Para simplificar el calculo se introduce la notación abreviada\\n\\n

$Df_{x,y}=\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$



de la derivada parcial que para el caso de la derivada de la entropia en la temperatura que con capacidad calórica con presión constante $J/K$, entropia $J/K$, presión $Pa$ and temperatura $K$ es

$ C_p = T DS_{T,p} $



se puede reescribir con capacidad calórica con presión constante $J/K$, entropia $J/K$, presión $Pa$ and temperatura $K$ como

$ DS_{T,p} =\displaystyle\frac{ C_p }{ T }$

ID:(12036, 0)



Relación entre variaciones de entropia

Equation

>Top, >Model


El diferencia de la entropia es, que es una función de la temperatura y presión\\n\\n

$dS=DS_{T,p}dT+DS_{p,T}dp$

\\n\\ny el diferencial de la presión, que es una función de la temperatura v volumen\\n\\n

$dp=Dp_{T,V}dT+Dp_{V,T}dV$

\\n\\nSi se reemplaza el diferencial de la presión en la ecuación anterior se obtiene\\n\\n

$dS=DS_{T,p}dT+DS_{p,T}[Dp_{T,V}dT+Dp_{V,T}dV]$

\\n\\nEn el caso que el volumen no varia dV=0 y el diferencial de la entropia y de la temperatura pueden escribirse como\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dS}{dT}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V=DS_{T,V}$



Con ello y la ecuación resultante es

$ DS_{T,V} = DS_{T,p} + DS_{p,T} Dp_{T,V} $

ID:(3612, 0)



Relación variación de la entropia con la presión

Equation

>Top, >Model


Con la relación de Maxwell de la energía libre de Gibbs con

$ DS_{p,T} = -DV_{T,p} $



y la relación del coeficiente térmica con thermic dilatation coefficient $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ and volumen $m^3$

$ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$



se obtiene que con thermic dilatation coefficient $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ and volumen $m^3$

$ DS_{p,T} = - V k_T $

ID:(638, 0)



Relación variación de la presión en la temperatura

Equation

>Top, >Model


Si se considera el diferencial\\n\\n

$dV=DV_{T,p}dT+DV_{p,T}dp$

\\n\\nque para el caso que no hay variación en el volumen dV=0 se tiene que\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dp}{dT}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=Dp_{T,V}=-\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ DV_{p,T} }$



que con la definición de la compresibilidad con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$

$ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$



lleva con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$ a la expresión

$ Dp_{T,V} =\displaystyle\frac{ \alpha }{ \kappa }$

ID:(12038, 0)



Relationship between heat capacity and material constants

Equation

>Top, >Model


La relación con variación de entropía en presión con temperatura constante $m^3/K$, variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$, variación de entropía en temperatura con volumen constante $J/K^2$ and variación de presión en temperatura con volumen constante $Pa/K$

$ DS_{T,V} = DS_{T,p} + DS_{p,T} Dp_{T,V} $



con las relaciones para

- dilatación térmica con thermic dilatation coefficient $1/K$, variación de volumen en temperatura con presión constante $m^3/K$ and volumen $m^3$

$ k_T =\displaystyle\frac{ DV_{T,p} }{ V }$



- compresibilidad con compresividad isotermica $1/Pa$, variación de volumen en presión con temperatura constante $m^3/Pa$ and volumen $m^3$

$ k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$



- capacidad calorica a volumen constante con capacidad calórica con volumen constante $J/K$, temperatura $K$ and variación de entropía en temperatura con volumen constante $J/K^2$

$ DS_{T,V} =\displaystyle\frac{ C_V }{ T }$



- capacidad calorica a presión constante con capacidad calórica con presión constante $J/K$, temperatura $K$ and variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$

$ DS_{T,p} =\displaystyle\frac{ C_p }{ T }$



resulta con capacidad calórica con presión constante $J/K$, temperatura $K$ and variación de entropía en temperatura con presión constante $J/K^2$

$ C_V = C_p - V T \displaystyle\frac{ k_T ^2}{ k_p }$

ID:(3613, 0)



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