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Función Partición del Gas Real
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ID:(520, 0)


Classical Partition Function
Equation

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En el caso de la función partición clásica debemos contabilizar los estados y recordar que por la paradoja de Gibbs se debe incluir un factor N! por la indistingibilidad de las partículas.

Para facilitar la suma se puede pasar a una aproximación continua en que la suma se reduce a una integral en el espacio de fase. En dicho caso los volúmenes d^3pd^3q deben ser normados con h^3 donde h es la constante de Planck.

Con ello la función partición de un gas real clásico no relativista se puede estimar con

$Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}$

ID:(3809, 0)


Integral Particle Pair Potential Energy Function
Equation

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El promedio de la energía potencial entre dos partículas se puede calcular empleando la distribución canónica\\n\\n

$\bar{u}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int d^3q u(q)e^{-\beta u(q)}}{\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}}$

\\n\\nEsta expresión también se puede generar si se deriva el logaritmo de la integral sobre el exponencial de beta y la función potencial\\n\\n

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\int e^{-\beta u(q)}d^3q$

\\n\\nSi escribimos\\n\\n

$\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}=\displaystyle\int [1+(e^{-\beta u(q)}-1)]d^3q=V+I(\beta)$



con la función con

$I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr$

y V es el volumen.

ID:(3816, 0)


Integration of Kinetic Energy Partition Function
Equation

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La expresión de la función partición de la energía científica\\n\\n

$Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}$



se puede integrar en forma exacta obteniéndose con

$ Z_K =\displaystyle\frac{1}{ N !}\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2 \beta }\right)^{3 N /2}$

ID:(3811, 0)


Partition Function Kinetic Energy
Equation

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Si se supone que el potencial solo depende de la posición la función partición se puede separar en una parte propia de la energía cinética Z_K y en una propia de la energía potencial Z_U.\\n\\n

$Z=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}$



La función partición de N partículas de masa m para la energía cinética K es igual a aquella que se da si no existe interacción entre las partículas por lo que se puede escribir con :

$Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}$

ID:(3810, 0)


Partition Function of Potential Energy Particle Pairs
Equation

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Si se toma la relación con

$ \ln Z_U = N \ln V -\displaystyle\int_0^{ \beta } \bar{U}( \beta_h )d \beta_h $



y se empela la relación con

$\bar{U}=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$



tras integrar se obtiene con

$ \ln Z_U = N \ln V +\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{ N ^2}{ V } I( \beta )$

ID:(3818, 0)


Potential Energy Function Partition
Equation

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Respecto de la energía potencial U, la función partición asociada a esta se puede describir mediante con

$Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}$

donde se integran las posiciones \vec{q}_i sobre todo el volumen y $\beta$ es el inverso de la constante de Boltzmann k y la temperatura absoluta T.

ID:(3812, 0)


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