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Gibbs Paradox
Storyboard

Wenn Sie zwei identische Systeme haben und diese zusammenfügen, hat es zufällig das doppelte Volumen und die doppelte Anzahl von Partikeln. In diesem Zusammenhang muss und muss die interne Energie beider Systeme gleich der Summe der einzelnen Systeme sein. Wenn jedoch die Entropie berechnet wird, stellt sich heraus, dass sich die Summe des hinzugefügten Systems von der Summe der Entropien jedes Systems separat unterscheidet, was keinen Sinn ergibt. Dieser Widerspruch ist das sogenannte Gibbs-Paradoxon und seine Auflösung hat tiefgreifende Auswirkungen auf das Verhalten der Natur. Ihre Lösung macht es notwendig zu akzeptieren, dass die Partikel der untersuchten Systeme nicht unterscheidbar sind, das heißt, sie haben nichts, was sie unterscheidbar macht.

>Modell

ID:(471, 0)


Entropie eines idealen Gases
Gleichung

>Top, >Modell


La entropía se definía en base a el numero de estados con como

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$

\\n\\ncon k la constante de Boltzmann, Z la función partición, \beta=1/k_BT con T la temperatura y U la energía interna.\\n\\nComo la función partición de un gas ideal es\\n\\n

$Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3N/2}V^N$

\\n\\ny como la energía interna resulto\\n\\n

$U=\displaystyle\frac{3}{2}k_BNT$



se tiene que la entropía de un gas ideal es con igual a

$ S = k_B N \left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_B T + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

ID:(652, 0)


Gibbs Paradox
Beschreibung

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Si se tiene un volumen de gas V a una temperatura T su entropía sería

$ S = k_B N \left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_B T + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2 \pi m }{ h ^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nSi ahora consideramos un volumen del doble de tamaño, o sea de 2V y de doble número de partículas o sea 2N, se tendría que tener que la entropía también se duplicaría o sea 2S ya que tanto el volumen como la entropía son variables extensibles. Sin embargo si se calcula la entropía para un volumen 2V se obtiene\\n\\n

$S=k_B2N\left(\ln 2V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln k_BT + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$

\\n\\nlo que no es igual a el doble de la entropía. El problema esta en que\\n\\n

$2k_BN\ln V \neq k(2N)\ln(2V)$

El problema de que la entropía no resulte extensible se denomina la paradoja de Gibbs y apunta a que en el calculo de la función partición se omitió un termino.

ID:(653, 0)


Lösung des Gibbs Paradox
Gleichung

>Top, >Modell


Para resolver la paradoja de Gibbs se debe modificar el termino del volumen de modo de que en vez de ser un logaritmo del volumen sea un logaritmo del volumen dividido por el numero de partículas:\\n\\n

$\ln V\rightarrow \ln\displaystyle\frac{V}{N}$

\\n\\nya que en ese caso la duplicación del volumen y numero de partículas significaría que la entropía se duplica del mismo modo. Si se introduce el factor de corrección, la entropía tendría que tener un factor adicional del tipo -\ln N:\\n\\n

$S=kN\left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln kT + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2} - \ln N\right)$

\\n\\nlo que significaría que a la función partición le faltaría un termino de la forma 1/N^N lo que físicamente es difícil de interpretar. Sin embargo, si se recuerda la formula de Stirling\\n\\n

$\ln N!=N\ln N-N$



se ve que una función partición que incluya un factor 1/N! genera entropías extensibles. Dicho factor tiene ademas un sentido físico ya que señala que se debe dividir la función partición por todas las combinaciones posibles de las N partículas. Esto sería el caso en que las partículas son indistinguibles por lo que la función partición estaría contando todos los estados N! veces.

Por ello la función partición es finalmente con de la forma

$ Z =\displaystyle\frac{1}{ N! }\sum_ r e^{- \beta E_r }$

donde r son todos los estados posibles y E_r es la energía de estos.

ID:(654, 0)


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