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Example of the Random Path (Rando Walk)
Storyboard
The random path is a typical example as starting from microscopic probabilities (the step to the right or left) it is possible to develop a probability distribution that accounts for the most probable places in which the walker can be found.
ID:(308, 0)
Random walk problem
Image
The problem of the random path is an example of how one can from the microscopic description predict the probable temporal evolution. In this case it is assumed that an actor (particle, person, etc.) randomly chooses whether to take a step to the right or to the left. It is assumed that the steps have a length
ID:(11396, 0)
The time passed
Equation
El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:
| $ t = N \Delta t $ |
ID:(501, 0)
Modeling the scene of Random Walk
Equation
En el modelar el camino aleatorio se deben considerar que se hace un cierto numero de pasos hacia la derecha y otro tanto hacia la izquierda ocurriendo esto en un tiempo que depende del numero de pasos y del tiempo que demora cada uno.
Dicho tiempo es por tanto, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ igual a
| $ t = N \Delta t $ |
El camino recorrido correspondiente es entonces, con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ and tiempo final $s$ igual a
| $x=(n_1-n_2)a$ |
Nota: esta discretización no es una condición para modelar el caso ya que se pueden introducir distribuciones de probabilidades de que el paso ocurra en un tiempo
ID:(503, 0)
Chance of a displacement
Equation
El desplazamiento ocurrirá con ciertas probabilidades en dirección de la derecha e izquierda. Si esta fuera igual tenderían a ocurrir la misma cantidad de pasos hacia la derecha como la izquierda con lo que la posición final terminaría siendo próxima al origen. Si una de ambas probabilidades es mucho mayor tendera a favorecerse uno de ambos pasos y se tendería a terminar desplazado en la dirección mas favorable.
Si los pasos son independientes el uno del otro la probabilidad de una cierta secuencia solo dependerá la la multiplicación de las probabilidades de los pasos individuales.Por ello con se tiene que la probabilidad de una secuencia especifica de pasos es:
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(504, 0)
Total steps
Equation
El numero total de pasos es igual a la suma de los pasos hacia la derecha y aquellos hacia la izquierda, por lo que con
ID:(3358, 0)
Possible ways
Equation
Hasta aquí se consideraron secuencias especificas de pasos dados hacia la derecha y la izquierda sin embargo existen una serie de alternativas con que se puede realizar la caminata todas terminando en el mismo punto.
Por ello se debe calcula el numero de combinaciones posibles lo que con esta dado por
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
ID:(505, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (1)
Equation
Con la probabilidad de una secuencia en particular y el numero de secuencias posibles se puede calcular con el producto la probabilidad de cualquier secuencia que termina considera el mismo numero de pasos hacia la derecha como hacia la izquierda.
Por ello con se tiene que
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
ID:(8980, 0)
Probabilidad de dar un numero de pasos a la derecha y a la izquierda (2)
Equation
Como la probabilidad de realizar un numero de pasos hacia la derecha y otro hacia la izquierda en cualquier secuencia posible es con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos $-$ and probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos cualquier secuencia $-$ igual a
| $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$ |
se tiene que con combinaciones posibles de (n_1,n_2) caminos $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and número total de pasos $-$ el numero de combinaciones es
| $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$ |
y con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad de dar en una secuencia específica
| $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$ |
que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, probabilidad de avanzar una combinación (n_1,n_2) $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ la probabilidad es
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
ID:(8970, 0)
Sum of probabilities
Equation
Si el desplazamiento solo es hacia la derecha o la izquierda y no existe otra alternativa de no realizar el paso, la suma de las probabilidades de dar pasos a hacia la derecha e izquierda debe ser igual a la unidad.
Por ello con se tiene que
| $p+q=1$ |
ID:(8965, 0)
Distribución binomial
Equation
Con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ and probabilidad de realizar (n_1,n_2) pasos $-$ la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ and número total de pasos $-$ el número total de pasos es
| $N=n_1+n_2$ |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con número de pasos hacia la derecha $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene para las probabilidades que
| $p+q=1$ |
por lo que con número de pasos hacia la derecha $-$ and probabilidad de pasos hacia la izquierda $-$ se tiene la distribución binomial
| $ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$ |
ID:(8961, 0)
Binomial distribution
Image
The result of the calculation corresponds to what is called a binomial distribution. Each line indicates the fraction of times that after a number
ID:(11397, 0)
0
Video
Video: Example of the Random Path