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Función partición clásica
Ecuación
En el caso de la distribución Maxwell Boltzmann la función partición clásica es\\n\\n
$Z_{MB}=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots}\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!\ldots}e^{-\beta(\epsilon_1+\epsilon_2+\ldots}$
con la condición de que con
| $ N =\displaystyle\sum_ r n_r $ |
\\n\\nSi observamos la función partición notaremos que corresponde a una serie binomial por lo que\\n\\n
$Z_{MB}=(e^{-\beta\epsilon_1}+e^{-\beta\epsilon_2}+\ldots)^N$
por lo que con
| $ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$ |
ID:(3736, 0)
Número de partículas en el estado $r$
Ecuación
El número de partículas en el estado
| $ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }-1}$ |
y en el caso de fermiones con mediante
| $ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$ |
o sea en general con
| $n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$ |
ID:(3732, 0)
Aproximación clásica
Ecuación
En el caso bajas concentraciones en
$n_r\ll 1$
\\n\\ny por ello\\n\\n
$e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\gg 1$
en
| $n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$ |
nos da con caso
| $n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$ |
ID:(3734, 0)
Ocupación de estados
Imagen
Si se compara la ocupación de estados se obtiene que
- la distribución de Fermi-Direc (FD) disminuye con la energía por temperatura
- la distribución de Bose Einstein (BE) aumenta con la energía por temperatura
- la distribución de Maxwell-Boltzmann (MB) muestra un comportamiento intermedio
- ambas distribuciones de los gases cuanticos (FD, BE) convergen a alta energía por temperatura a la distribución de Maxwell Boltzmann
ID:(13508, 0)
Calculo de alfa
Ecuación
Tanto para bosones como para fermiones el factor alfa debe ser elegido de modo que la suma del numero de partículas sobre todos los estados sea igual al numero total de partículas por lo que con se tiene que
| $ N =\displaystyle\sum_ r \displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }\pm 1}$ |
ID:(3731, 0)
Calculo de alfa en limite clásico
Ecuación
Como el número de partículas por estado
| $n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$ |
y la suma sobre todos los estados debe ser igual al número total
| $ N =\displaystyle\sum_ r n_r $ |
se obtiene que
| $ \alpha =- \ln N +\ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$ |
ID:(3735, 0)
Función partición
Ecuación
La función partición para un gas de bosones es con igual a
| $ \ln Z_{BE} = \alpha N -\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$ |
mientras que la del gas de fermiones es con igual a
| $ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
por lo que en general con tiene la forma
| $ \ln Z_{BE/FD} = \alpha N \pm\displaystyle\sum_ r \ln(1\pm e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
ID:(3733, 0)
Función partición cuantica y clásica
Ecuación
Con las funciones de particion del gas de bosones y fermiones en el limite clásico es con alpha $-$, beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Bose-Einstein/Fermi-Dirac $-$ y numero de partículas $-$
| $ \ln Z_{BE/FD} = \alpha N \pm\displaystyle\sum_ r \ln(1\pm e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
que con alpha $-$, beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$ y numero de partículas en el estado $r$ $-$
| $n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$ |
\\n\\nen la aproximación clásica es\\n\\n
$n_r\ll 1,,e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}\ll 1$
\\n\\nCon ello se puede desarrollar el logaritmo en serie de Taylor dando\\n \\n
$\ln Z_{BE/FD}\displaystyle\sim\alpha N\pm\displaystyle\sum_r(\pm e^{-\alpha-\beta\epsilon})=\alpha N+N$
Con la expresión para
| $ \alpha =- \ln N +\ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$ |
se obtiene con beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ y numero de partículas $-$
| $ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$ |
\\n\\nque\\n\\n
$\ln Z_{BE/FD}=-N\ln N+N+\ln Z_{MB}$
Como con
| $\ln N!\sim N\ln N-N$ |
se obtiene finalmente que con es
| $ Z_{BE/FD} =\displaystyle\frac{1}{ N !} Z_{MB} $ |
ID:(3737, 0)
Potencial químico en las tres distribuciones
Imagen
En el caso del potencial químico se observa
- en la distribución de Fermi-Direc (FD) que decrece al aumentar la temperatura volviéndose negativo
- en la distribución de Bose Einstein (BE) que presenta el condensado (en que es cero) y de igual forma decrece con el aumento de la temperatura
- en la distribución de Maxwell-Boltzmann (MB) muestra un comportamiento intermedio
- ambas distribuciones de los gases cuanticos (FD, BE) convergen a alta energía por temperatura altas a la distribución de Maxwell Boltzmann
ID:(13509, 0)
0
Video
Video: Límites de Estadísticas de Gases Cuánticos