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Klassische Partition Funktion
Gleichung

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En el caso de la distribución Maxwell Boltzmann la función partición clásica es\\n\\n

$Z_{MB}=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots}\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!\ldots}e^{-\beta(\epsilon_1+\epsilon_2+\ldots}$



con la condición de que con

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $

\\n\\nSi observamos la función partición notaremos que corresponde a una serie binomial por lo que\\n\\n

$Z_{MB}=(e^{-\beta\epsilon_1}+e^{-\beta\epsilon_2}+\ldots)^N$



por lo que con

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

ID:(3736, 0)


Anzahl der Partikel im Zustand $r$
Gleichung

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El número de partículas en el estado r se puede calcular en el caso de bosones con mediante

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }-1}$



y en el caso de fermiones con mediante

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$



o sea en general con

$n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$

ID:(3732, 0)


Klassische Ansatz
Gleichung

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Bei niedrigen Konzentrationen in N müssen die Beiträge jedes n_r gering sein, d. h.

n_r\ll 1


und deshalb

e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\gg 1


In diesem Fall in

$n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$



ergibt es

$n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$

ID:(3734, 0)


Ocupación de estados
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Si se compara la ocupación de estados se obtiene que

- la distribución de Fermi-Direc (FD) disminuye con la energía por temperatura
- la distribución de Bose Einstein (BE) aumenta con la energía por temperatura
- la distribución de Maxwell-Boltzmann (MB) muestra un comportamiento intermedio
- ambas distribuciones de los gases cuanticos (FD, BE) convergen a alta energía por temperatura a la distribución de Maxwell Boltzmann

ID:(13508, 0)


Alpha Berechnung
Gleichung

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Tanto para bosones como para fermiones el factor alfa debe ser elegido de modo que la suma del numero de partículas sobre todos los estados sea igual al numero total de partículas por lo que con se tiene que

$ N =\displaystyle\sum_ r \displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }\pm 1}$

ID:(3731, 0)


Berechnung von Alpha im klassischen Grenzefall
Gleichung

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Como el número de partículas por estado r es con alpha $-$, beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$ und numero de partículas en el estado $r$ $-$

$n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$



y la suma sobre todos los estados debe ser igual al número total N por lo que con

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $



se obtiene que \alpha debe ser con

$ \alpha =- \ln N +\ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

ID:(3735, 0)


Verteilungsfunktion
Gleichung

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La función partición para un gas de bosones es con igual a

$ \ln Z_{BE} = \alpha N -\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$



mientras que la del gas de fermiones es con igual a

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



por lo que en general con tiene la forma

$ \ln Z_{BE/FD} = \alpha N \pm\displaystyle\sum_ r \ln(1\pm e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

ID:(3733, 0)


Quantum und klassische Verteilungsfunktion
Gleichung

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Con las funciones de particion del gas de bosones y fermiones en el limite clásico es con alpha $-$, beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Bose-Einstein/Fermi-Dirac $-$ und numero de partículas $-$

$ \ln Z_{BE/FD} = \alpha N \pm\displaystyle\sum_ r \ln(1\pm e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



que con alpha $-$, beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$ und numero de partículas en el estado $r$ $-$

$n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$

\\n\\nen la aproximación clásica es\\n\\nn_r\ll 1,,e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}\ll 1\\n\\nCon ello se puede desarrollar el logaritmo en serie de Taylor dando\\n \\n

$\ln Z_{BE/FD}\displaystyle\sim\alpha N\pm\displaystyle\sum_r(\pm e^{-\alpha-\beta\epsilon})=\alpha N+N$



Con la expresión para \alpha con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$ und numero de partículas $-$

$ \alpha =- \ln N +\ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$



se obtiene con beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ und numero de partículas $-$

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

\\n\\nque\\n\\n

$\ln Z_{BE/FD}=-N\ln N+N+\ln Z_{MB}$



Como con



se obtiene finalmente que con beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ und numero de partículas $-$ es

$ Z_{BE/FD} =\displaystyle\frac{1}{ N !} Z_{MB} $

ID:(3737, 0)


Potencial químico en las tres distribuciones
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En el caso del potencial químico se observa

- en la distribución de Fermi-Direc (FD) que decrece al aumentar la temperatura volviéndose negativo
- en la distribución de Bose Einstein (BE) que presenta el condensado (en que es cero) y de igual forma decrece con el aumento de la temperatura
- en la distribución de Maxwell-Boltzmann (MB) muestra un comportamiento intermedio
- ambas distribuciones de los gases cuanticos (FD, BE) convergen a alta energía por temperatura altas a la distribución de Maxwell Boltzmann

ID:(13509, 0)


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Video: Límites de Estadísticas de Gases Cuánticos