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Estadística de Bose-Einstein
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En el caso de bosones en que el numero de partículas es una constante debemos trabajar con la distribución gran canónica. En ese sentido el potencial químico debe ser elegido de modo de que el numero de partículas coincida con el de la distribución. A bajas temperaturas eso no es posible a menos que se asuma que una parte del sistema pasa a un estado fundamental sin energía. Este se denomina el condensado. La distribución que asi surje es la llamada distribución de Bose-Einstein.

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ID:(499, 0)


Bosones
Descripción

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Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)


Estados posibles
Descripción

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Los estados R se definen indicando el numero de partículas en cada uno de los estados n_r, o sea\\n\\n

$R={n_1,n_2,n_3,\ldots}$

.\\n\\nEso si la distribución debe satisfacer que la suma de los números de partículas por estado debe ser igual al numero total de partículas N:\\n\\n

$\displaystyle\sum_rn_r=N$

\\n\\nAdemas la suma de las energía de cada partícula debe ser igual a la energía total E:\\n\\n

$\displaystyle\sum_rn_r\epsilon_r=E$

y el calculo de las combinaciones debe considerar que estas son indistinguibles.

ID:(705, 0)


Descripción del sistema físico
Ecuación

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El sistema esta compuesto de N partículas con una energía total E.

Cada partícula puede estar en uno de los estados r con una energía \epsilon_r. Si el número de partículas que se encuentran en el estado r es n_r el número total deberá ser con igual a

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $

ID:(3665, 0)


Energía total del sistema físico
Ecuación

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Sea n_r es el número de partículas en el estado r y sea \epsilon_r la energía de una partícula en dicho estado. Si la interacción entre las partículas es despreciable, la energía total es con

$ E_R =\displaystyle\sum_ r n_r \epsilon_r $

ID:(3666, 0)


Gran función partición general
Ecuación

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En el caso de que existir un limite del número de partículas tenemos que trabajar que con la gran función partición de la gran distribución canónica.

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$



Para calcular la gran función partición se deben considerar todos los estados posibles R para en número dado de partículas N. La gran distribución canónica considera el exponencial elevado a menos el beta y la energía y el factor \alpha multiplicado por el número de partícula, por lo que con es:

$ {\cal{Z}}_{BE} =\displaystyle\sum_{ N_h } \displaystyle\sum_{ R } e^{- \beta E_R }e^{- \alpha N_h }$

ID:(3706, 0)


Gran Función Partición de Bosones
Ecuación

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En el caso del sistema de bosones tienen con energía del boson en el estado $r$ $J$, energía del sistema $J$ y numero de bosones en el estado $r$ $-$ energía igual a

$ E_R =\displaystyle\sum_ r n_r \epsilon_r $



y con numero de partículas $-$ y numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ el número de estos se calcula mediante

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $



por lo que con energía del sistema $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ y numero de partículas $-$ la gran función partición

$ {\cal{Z}}_{BE} =\displaystyle\sum_{ N_h } \displaystyle\sum_{ R } e^{- \beta E_R }e^{- \alpha N_h }$

\\n\\nes\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_Re^{-\beta(n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2+n_3\epsilon_3+\ldots)}e^{-\alpha(n_1+n_2+n_3+\ldots)}$

\\n\\nSi se re ordena esta expresión se puede sumar por número de partículas en el estado r:\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_{n_1=0}^{\infty}e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)n_1}\sum_{n_2=0}^{\infty}e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)n_2}\ldots$

\\n\\nSi realizamos las suma se obtiene\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)}}\displaystyle\frac{1}{1-e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)}}\ldots$



Si se aplica el logaritmo se obtiene con energía del sistema $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ y numero de partículas $-$ finalmente

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =-\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$

ID:(3708, 0)


Aproximación de la Gran Función Partición para Bose-Einstein
Ecuación

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Si pensamos la gran función partición como\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_{N'}Z_{BE}(N')e^{-\alpha N'}$

\\n\\nante la situación que la desvían estándar del número de partículas es pequeñas, la suma se reduce a solo el elemento en N por lo que\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}\sim Z_{BE}(N)e^{-\alpha N}$



Con el logaritmo de esta expresión se obtiene con

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =- \alpha N + \ln Z_{BE} $

ID:(3707, 0)


Función partición de Bosones
Ecuación

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Con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$ y logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$ la relación para la gran función partición

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =-\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$



y con factor alpha $-$, logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$, logaritmo de la función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ y numero de partículas $-$ la relación

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =- \alpha N + \ln Z_{BE} $



se puede escribir una relación para la función partición que con factor alpha $-$, logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$, logaritmo de la función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ y numero de partículas $-$ resulta:

$ \ln Z_{BE} = \alpha N -\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$

ID:(3709, 0)


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