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Estadística de Bose-Einstein
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ID:(499, 0)


Bosons
Description

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Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.\\n\\nPartículas que tienen spin enteros se denominan Bosones. Se caracterizan porque las función de onda es simétrica, es decir es invariante ante la permutación entre dos partículas (posiciones y spin):\\n\\n

$\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)$

Bosones se describen por lo que se denomina estadísticas de Bose-Einstein.

ID:(704, 0)


Possible states
Description

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Los estados R se definen indicando el numero de partículas en cada uno de los estados n_r, o sea\\n\\n

$R={n_1,n_2,n_3,\ldots}$

.\\n\\nEso si la distribución debe satisfacer que la suma de los números de partículas por estado debe ser igual al numero total de partículas N:\\n\\n

$\displaystyle\sum_rn_r=N$

\\n\\nAdemas la suma de las energía de cada partícula debe ser igual a la energía total E:\\n\\n

$\displaystyle\sum_rn_r\epsilon_r=E$

y el calculo de las combinaciones debe considerar que estas son indistinguibles.

ID:(705, 0)


Physical Description of the System
Equation

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El sistema esta compuesto de N partículas con una energía total E.

Cada partícula puede estar en uno de los estados r con una energía \epsilon_r. Si el número de partículas que se encuentran en el estado r es n_r el número total deberá ser con igual a

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $

ID:(3665, 0)


Total Energy of the Physical System
Equation

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Sea n_r es el número de partículas en el estado r y sea \epsilon_r la energía de una partícula en dicho estado. Si la interacción entre las partículas es despreciable, la energía total es con

$ E_R =\displaystyle\sum_ r n_r \epsilon_r $

ID:(3666, 0)


General Grand Partition Function
Equation

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En el caso de que existir un limite del número de partículas tenemos que trabajar que con la gran función partición de la gran distribución canónica.

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$



Para calcular la gran función partición se deben considerar todos los estados posibles R para en número dado de partículas N. La gran distribución canónica considera el exponencial elevado a menos el beta y la energía y el factor \alpha multiplicado por el número de partícula, por lo que con es:

$ {\cal{Z}}_{BE} =\displaystyle\sum_{ N_h } \displaystyle\sum_{ R } e^{- \beta E_R }e^{- \alpha N_h }$

ID:(3706, 0)


Bosons Grand Partition Function
Equation

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En el caso del sistema de bosones tienen con energía del boson en el estado $r$ $J$, energía del sistema $J$ and numero de bosones en el estado $r$ $-$ energía igual a

$ E_R =\displaystyle\sum_ r n_r \epsilon_r $



y con numero de partículas $-$ and numero medio de bosones en el estado $r$ $-$ el número de estos se calcula mediante

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $



por lo que con energía del sistema $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ and numero de partículas $-$ la gran función partición

$ {\cal{Z}}_{BE} =\displaystyle\sum_{ N_h } \displaystyle\sum_{ R } e^{- \beta E_R }e^{- \alpha N_h }$

\\n\\nes\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_Re^{-\beta(n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2+n_3\epsilon_3+\ldots)}e^{-\alpha(n_1+n_2+n_3+\ldots)}$

\\n\\nSi se re ordena esta expresión se puede sumar por número de partículas en el estado r:\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_{n_1=0}^{\infty}e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)n_1}\sum_{n_2=0}^{\infty}e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)n_2}\ldots$

\\n\\nSi realizamos las suma se obtiene\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)}}\displaystyle\frac{1}{1-e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)}}\ldots$



Si se aplica el logaritmo se obtiene con energía del sistema $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ and numero de partículas $-$ finalmente

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =-\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$

ID:(3708, 0)


Approximation of the Great Partition Function for Bose-Einstein
Equation

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Si pensamos la gran función partición como\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}=\displaystyle\sum_{N'}Z_{BE}(N')e^{-\alpha N'}$

\\n\\nante la situación que la desvían estándar del número de partículas es pequeñas, la suma se reduce a solo el elemento en N por lo que\\n\\n

${\cal{Z}}_{BE}\sim Z_{BE}(N)e^{-\alpha N}$



Con el logaritmo de esta expresión se obtiene con

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =- \alpha N + \ln Z_{BE} $

ID:(3707, 0)


Partition function Bosons
Equation

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Con energía del boson en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$ and logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$ la relación para la gran función partición

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =-\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$



y con factor alpha $-$, logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$, logaritmo de la función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ and numero de partículas $-$ la relación

$ \ln{\cal{Z}}_{BE} =- \alpha N + \ln Z_{BE} $



se puede escribir una relación para la función partición que con factor alpha $-$, logaritmo de la función partición de Bose Einstein $-$, logaritmo de la función partición gran canónica de Bose-Einstein $-$ and numero de partículas $-$ resulta:

$ \ln Z_{BE} = \alpha N -\displaystyle\sum_ r \ln(1-e^{- \beta \epsilon_r - \alpha })$

ID:(3709, 0)


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