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Verteilung und Entropie
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Wenn wir die Wahrscheinlichkeit analysieren, das System in einem bestimmten Zustand zu finden, stellen wir fest, dass die Gleichgewichtsbedingung ($\beta$) ein integraler Bestandteil der Verteilungsstruktur ist. Darüber hinaus wird deutlich, dass die Funktion, die das System am besten modelliert, der Logarithmus der Anzahl der Zustände ist, was mit dem Begriff Entropie verknüpft ist.
ID:(437, 0)
Bilden eines Maximums
Definition
Wenn wir die Anzahl der Fälle multiplizieren, erhalten wir eine Funktion mit einem sehr ausgeprägten Maximum.
Das System wird mit größerer Wahrscheinlichkeit bei der Energie gefunden, an der das Maximum der Wahrscheinlichkeitskurve auftritt.
ID:(11543, 0)
Verteilung und Entropie
Storyboard
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit analysieren, das System in einem bestimmten Zustand zu finden, stellen wir fest, dass die Gleichgewichtsbedingung ($\beta$) ein integraler Bestandteil der Verteilungsstruktur ist. Darüber hinaus wird deutlich, dass die Funktion, die das System am besten modelliert, der Logarithmus der Anzahl der Zustände ist, was mit dem Begriff Entropie verknüpft ist.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Beispiele
Wenn wir die Anzahl der F lle multiplizieren, erhalten wir eine Funktion mit einem sehr ausgepr gten Maximum.
Das System wird mit gr erer Wahrscheinlichkeit bei der Energie gefunden, an der das Maximum der Wahrscheinlichkeitskurve auftritt.
Um das Verhalten der Funktion der Zustandsanzahl zu untersuchen, k nnen wir sie um den Wert der Gleichgewichtsenergie $\bar{E}$ entwickeln. Wenn wir diese Entwicklung im Logarithmus der Zustandsanzahl durchf hren, erhalten wir
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
wobei $\eta=E-\bar{E}$ ist. Mit
und
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
erhalten wir den Ausdruck mit
Wenn wir die Erweiterung der Zustandsanzahl mit
k nnen wir das Logarithmus der Wahrscheinlichkeit absch tzen:
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
F r den Fall des Gleichgewichts sind beide Betas gleich, und die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Systeme eine Energie $E$ hat, reduziert sich auf eine Gau verteilung, die mit
wobei
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
Der Faktor, der die Breite der Wahrscheinlichkeitskurve definiert, ist der quadratische Faktor in der Taylorreihenentwicklung, der mit
Es kann gezeigt werden, dass die eingef hrte Zahl $\lambda$ immer positiv ist. Ein Hinweis darauf ergibt sich aus der Funktion f r die Anzahl der Zust nde, die wir bereits f r den Fall freier Teilchen berechnet haben. In diesem Fall, da die Anzahl der Zust nde proportional zur Energie hoch erhoben zur Potenz der Freiheitsgrade $f$ ist, erhalten wir mit
$\Omega\sim E^f$
folgendes Ergebnis:
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
Der Schl sselparameter bei der Untersuchung des Gleichgewichts wird durch den Logarithmus der Anzahl der Zust nde bestimmt, der mit
Der nat rliche Logarithmus der Anzahl der Zust nde, multipliziert mit der Boltzmann-Konstanten $k_B$, wird als die Entropie des Systems definiert, die mit
Die Definition von $\beta$ finden Sie unter
diejenige der Temperatur unter
und die der Entropie unter
Diese Definitionen f hren uns zu einer thermodynamischen Beziehung, die zeigt, wie die Temperatur $T$ in Beziehung steht zu
Mit der Definition der Entropie als
und in Erinnerung daran, dass im Gleichgewicht mit
schlussfolgern wir, dass im Gleichgewicht die Energie $E$ immer maximal sein muss mit
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