Los cristales esta compuesto de atomos. Cada atomo se encuentra en una posici n defindia. Las posiciones no son aleatorias y presentan una estructura propia del material.

Hasta 1982 se definia un tipo de cristal sin una estructura de atomos con una celda fundamental periodica. En dicho a o se descubrieron sistemas que presentaban periocidad pero no necesariemente de una sola celda fundamental. Estos se denominaron cuasicristales (ej. la aleaci n Al-Pd-Mn).

En 1991 se redefino el concepto de cristales como sistemas que presentan un diagramas de difracci n discretos.

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Al repetire un patron a lo largo del cristal se puede eterminar una celda unitaria que se repite periodicamente formando asi la estructura.

Si se define un atomo como el origen de la celda, su equivalente en otras celdas se encontraran en posiciones que son multiplos de vectores base $\vec{a}_i$ de la forma que la posici n de cualquier otro origen se encontrar en

$\vec{T}=n_1\vec{a}_1+n_2\vec{a}_2+n_3\vec{a}_3$

Los vectores base $\vec{a}_i$ que son propios de la estructura mientars que los $n_i$ pueden asumir cualquier valor entereo.

De ser periodico e infinito el cristal, el vector $\vec{T}$ representa una simetria de traslaci n ya que un desplazamiento en

$\vec{x}\rightarrow \vec{x}+\vec{T}$

no altera el entrono del punto observado.

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Los vectores $\vec{a}_i$ corresponden a 9 distintas coorednadas.

Sin embargo, como podemos definir en que direcci n apunta por ejemplo $\vec{a}_i$ hay dos grados de libertad que se pueden fijar en forma arbitraria.

Como ademas se puede rotar la celda en torno a la misma direcci n $\vec{a}_i$ las 9 cooredenaddas se reducen a solo 6 parametros que definen la celda completamente.

Por ello basta con:

* definir las magnitides de los tres vectores $\vec{a}_i$

* definir los angulos entre los vectores $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$ con $\vec{a}_1$

* definir el ngulo entre $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$

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El largo del vector $\vec{a}_1$ lo denominaremos $a$ y se calcula directamente del producto punto:

$a=\sqrt{\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1}$

(ID 7704)

El largo del vector $\vec{a}_2$ lo denominaremos $b$ y se calcula directamente del producto punto:

$b=\sqrt{\vec{a}_2\cdot\vec{a}_2}$

(ID 7705)

El largo del vector $\vec{a}_3$ lo denominaremos $c$ y se calcula directamente del producto punto:

$c=\sqrt{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_3}$

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El angulo entre el vector $\vec{a}_2$ y $\vec{a}_3$ se calcula directamente del producto punto:

$\cos\alpha=\displaystyle\frac{\vec{a}_2\cdot\vec{a}_3}{bc}$

(ID 7708)

El angulo entre el vector $\vec{a}_3$ y $\vec{a}_1$ se calcula directamente del producto punto:

$\cos\beta=\displaystyle\frac{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_1}{ca}$

(ID 7709)

El angulo entre el vector $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_2$ se calcula directamente del producto punto:

$\cos\gamma=\displaystyle\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{a}_2}{ab}$

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Si se supone que el vactor $\vec{a}_3$ es paralelo al eje $\hat{z}$ se puede calcular con el largo $c$ mediante

$\vec{a}_3=c\hat{z}=(0,0,c)$

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Si se supone que el vactor $\vec{a}_1$ estan en el plano formado por los versores $\hat{z}$ y $\hat{x}$ se tiene que

$\vec{a}_1=a_{1x}\hat{x}+a_{1z}\hat{z}$

Como el angulo entre $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_3$ es

$\cos\beta=\displaystyle\frac{\vec{a}_3\cdot\vec{a}_1}{ca}$

y se tiene que

$\vec{a}_3=c\hat{z}$

con lo que

$\cos\beta=\displaystyle\frac{a_{1z}}{a}$

Por ello el vector $\vec{a}_1$ es igual a

$\vec{a}_1=a\sin\beta\hat{x}+a\cos\beta\hat{z}$

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