Conducción térmica

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ID:(1616, 0)

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Traspaso de energía entre capas de gas

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Conducción Térmica

ID:(1710, 0)

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Ecuación de transporte de calor

Ecuación

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La ecuación de transporte de calor describe como ante una diferencia de temperatura dT sobre una distancia dz en un cuerpo de sección S lleva a el desplazamiento de un calor dQ en un tiempo dt y la constante de conducción térmica

$\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }= S \lambda \displaystyle\frac{ dT }{ dz }$

ID:(3948, 0)

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Conducción térmica como intercambio de energía

Ecuación

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Si la temperatura en un punto z es de T(z) y en un punto vecino z + dz es T(z + dz) se tendrá que las partículas a distancia de un camino libre l pueden redistribuir la energía:

$\displaystyle\frac{f}{2}k\Delta T=\displaystyle\frac{f}{2}k(T(z+dz)-T(z))$

El numero de partículas que participan en dicho proceso es igual a aquellas que se encuentran en un volumen de sección S y altura igual al camino libre l:

$S,l,c_n$

Por ello el calor que fluye dQ será igual al cambio de energía en el tiempo o sea

$dQ =-\displaystyle\frac{ f }{2} S l c_n m k_B dT$

donde el signo negativo se debe a que el calor fluye del área con mayor a menor temperatura.

ID:(3947, 0)

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Conducción térmica microscópica

Ecuación

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Si se considera el flujo de calor dQ creada por la mezcla de partículas de distinta energía

$dQ =-\displaystyle\frac{ f }{2} S l c_n m k_B dT$

donde S el la sección, l el camino libre, c_n la concentración, m la masa y f los grados libres de la partícula y dT. Esta expresión se puede re-formular dividiéndola por el tiempo e introduciendo la distancia dz recorrida por el calor

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=-\displaystyle\frac{f}{2}S,l,c_nm\displaystyle\frac{dt}{dz}\displaystyle\frac{dz}{dt}$

La derivada de la posición z respecto del tiempo la podemos modelar mediante

$\displaystyle\frac{dz}{dt}=v_z=\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}$

De esta forma queda la fuerza creada por la mezcla de momentos como

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{3}S,l,c_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}\displaystyle\frac{dT}{dz}$

Si se compara esta expresión con la fuerza viscosa

$\displaystyle\frac{dQ}{dt}=-S\lambda\displaystyle\frac{dT}{dz}$

se concluye que la conducción térmica tiene que ser

$\lambda=\displaystyle\frac{f}{6}k\,c_nl\sqrt{\langle v^2\rangle}$

ID:(3949, 0)

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Conducción térmica en función de la temperatura

Ecuación

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Si la conducción térmica es

$\lambda=\displaystyle\frac{f}{6}k\,c_nl\sqrt{\langle v^2\rangle}$

con l el camino libre, c_n la concentración, k_B la constante de Boltzmann y \langle v^2\rangle el valor esperado del cuadrado de la velocidad. Con la expresión para el camino libre

$l=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2c_n}$

se tiene que la viscosidad en función de la temperatura sera:

$\lambda=\displaystyle\frac{1}{6\pi d^2}\sqrt{\displaystyle\frac{f^3k^3T}{2m}}$

donde el signo negativo se debe a que la fuerza es contraria a la dirección del flujo.

ID:(3950, 0)

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