Benützer:
Diagramm im Impuls-Positions-Raum $p-q$
Beschreibung 
Eine Technik zur Analyse der Bewegung besteht darin, den Impuls in Abhängigkeit von der Position eines sich bewegenden Körpers darzustellen. Diese Darstellung ermöglicht es uns, zu untersuchen, wie sich der Impuls in Bezug auf die erreichte Position entwickelt.
Die Darstellung der Bewegung im Impuls-Positions-Raum $p-q$ ermöglicht es uns, die Entwicklung der Verschiebung zu analysieren und die Extrema in Position und Impuls hervorzuheben.
Im Falle einer periodischen Bewegung oder wenn wir den Hin- und Rückweg betrachten, kann dies wie folgt dargestellt werden:
Zusätzlich kann man sehen, dass die Fläche, die von der Kurve eingeschlossen wird
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
der Energie des Systems entspricht.
Die von der Kurve im Impuls-Positions-Diagramm $p-q$ eingeschlossene Fläche entspricht der Energie des Systems.
ID:(1240, 0)
Phasenraum
Beschreibung
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Da die kinetische Energie
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
und die potentielle Energie
| $ V = - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ r } $ |
sind, k nnen wir die Energie in Abh ngigkeit vom Radius, der durch die Variable $q$ dargestellt wird, wie folgt ausdr cken
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
Im Fall, dass die kinetische Energie die potentielle Energie im Anfangsradius bersteigt und die Energie positiv ist (was darauf hinweist, dass das Objekt dem Planeten entkommen kann), kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden
$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
was sich zu
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
vereinfacht, wobei
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, und
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Im Fall, dass die kinetische Energie die potentielle Energie nicht bersteigt (was darauf hinweist, dass das Objekt nicht der Anziehung des Planeten entkommen kann), ist die Energie negativ und der Ausdruck lautet
$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
wobei $E$ der Betrag der Energie ist. Mit den Definitionen von $x$ und $y" haben wir
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
(ID 1185)
Die kinetische Energie in Abh ngigkeit vom Impuls ist gegeben durch
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
und die potenzielle Energie in Abh ngigkeit von der H he ist
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
Wenn wir die Ausdehnung als Position ausdr cken
$x = q$
ergibt sich
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
(ID 1187)
Da die kinetische Energie gleich ist
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
und der Impuls
| $ p = m_i v $ |
k nnen wir es ausdr cken als
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
oder
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Da die kinetische Energie in Abh ngigkeit vom Impuls ist
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
und die potenzielle Energie in Abh ngigkeit von der H he ist
| $ V = - m_g g z $ |
k nnen wir, wenn wir die H he als Position ausdr cken
$h = q$
erhalten wir
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
(ID 4426)
Da die Energie im Allgemeinen die Summe aus kinetischer Energie
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
und potentieller Energie
$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$
Wenn wir nach dem Impuls aufl sen, ergibt sich der folgende Ausdruck:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
Beispiele
Eine Technik zur Analyse der Bewegung besteht darin, den Impuls in Abh ngigkeit von der Position eines sich bewegenden K rpers darzustellen. Diese Darstellung erm glicht es uns, zu untersuchen, wie sich der Impuls in Bezug auf die erreichte Position entwickelt.
Die Darstellung der Bewegung im Impuls-Positions-Raum $p-q$ erm glicht es uns, die Entwicklung der Verschiebung zu analysieren und die Extrema in Position und Impuls hervorzuheben.
Im Falle einer periodischen Bewegung oder wenn wir den Hin- und R ckweg betrachten, kann dies wie folgt dargestellt werden:
Zus tzlich kann man sehen, dass die Fl che, die von der Kurve eingeschlossen wird
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
der Energie des Systems entspricht.
Die von der Kurve im Impuls-Positions-Diagramm $p-q$ eingeschlossene Fl che entspricht der Energie des Systems.
(ID 1240)
Die kinetische Energie einer Masse $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
kann in Abh ngigkeit vom Impuls ausgedr ckt werden als
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Wenn wir die Energie nach dem Impuls aufl sen, erhalten wir die Ausdr cke f r den positiven und negativen Impuls:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
F r den Fall eines Teilchens im Gravitationsfeld der Erde ist die Energie in Abh ngigkeit vom Impuls $p$ und der Position $q$ gegeben durch
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
Die Gleichung kann adimensional dargestellt werden als
$y=\pm\sqrt{1-x}$
mit
$x=\displaystyle\frac{q}{mg/E}$
, und
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}$
was unten dargestellt ist
(ID 4426)
F r den Fall einer Masse, die mit einem Feder schwingt, ist die Energie als Funktion des Impulses $p$ und der Position $q$
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
Die Gleichung kann in einer dimensionslosen Form ausgedr ckt werden als
$1=y^2 + x^2$
wobei
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
ist und
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
wenn wir nach
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Die Darstellung in der xy-Ebene ist unten dargestellt
(ID 1187)
F r den Fall einer Masse im Gravitationsfeld ist die Energie in Abh ngigkeit von Impuls
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
Die Gleichung kann adimensional dargestellt werden, f r den Fall positiver Energie mit den folgenden Kurven (blaue und gr ne Kurven):
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
Und f r den Fall negativer Energie wird sie wie folgt dargestellt (rote und violette Kurven):
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
Dabei gilt
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
und
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Dies wird nachfolgend dargestellt:
(ID 1185)
ID:(1659, 0)