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Teorema de Noether
Descrição 
Em 1915, Emmy Noether descobriu a relação entre simetrias e conservações na física. Sempre que um sistema é invariante em relação a mudanças em uma variável específica, há uma conservação correspondente de outra variável associada.
Particularmente interessantes são as simetrias em:
• O tempo (conservação de energia),
• O deslocamento (conservação de momento) e
• A rotação (conservação do momento angular).
ID:(59, 0)
Invariante no tempo
Equação
A invariância (=não mudança) em relação ao tempo significa que algo não muda à medida que o tempo passa. Em outras palavras, se algo acontece de uma certa maneira hoje, acontecerá da mesma maneira amanhã.
A invariância em relação ao tempo está associada à conservação de energia. Isso implica que a soma de todas as energias será igual à energia total presente no início:
 $ E_1 = E_2 $ |
Um exemplo é um objeto em um campo gravitacional que consistentemente se comporta da mesma maneira, indicando que o campo gravitacional não dissipa energia dos objetos em movimento dentro dele.
ID:(1177, 0)
Posição invariante
Equação
A invariância de translação espacial significa que não importa onde realizamos um experimento. Se pudermos transladar o experimento numa direção sem que o resultado mude, dizemos que nessa direção existe invariância de translação. Quando há invariância de translação, o momento linear é conservado. Matematicamente, isso é expresso como a soma dos momentos lineares sendo sempre igual ao momento linear total inicial:
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
Um exemplo disso é a invariância de translação que existe na superfície da Terra. Desde que a altura não varie, um experimento realizado no hemisfério sul ou norte dará o mesmo resultado. Em outras palavras, há invariância de translação nos eixos $x$ e $y$ se eles forem definidos na superfície do planeta. A situação é diferente em relação à altura, pois a força gravitacional varia e isso afeta o desenvolvimento dos experimentos. A consequência da simetria de translação na superfície do planeta é que o momento linear é conservado. Se a massa não variar, isso significa que a velocidade será constante.
ID:(12573, 0)
Posição invariante (vetor)
Equação
A conservação do momento, originalmente introduzida para uma dimensão
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
pode ser generalizada para mais dimensões
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Como a conservação para uma dimensão é
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
se existe invariância nas outras dimensões, pode ser generalizada para cada dimensão
$\vec{p}0=(p_x,p_y,p_z)=\left(\displaystyle\sum_i p{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (p_{i,x},p_{i,y},p_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{p}_i$
portanto,
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Em muitos casos, a invariância ocorre em uma das dimensões e não nas outras. Nesses casos, a relação unidimensional não pode ser generalizada para todas as dimensões.
ID:(1178, 0)
Ângulo invariante
Equação
A invariância de rotação significa que podemos girar um experimento e seu resultado não mudará. Um exemplo é um satélite que gira ao redor da Terra. Para ele, a situação não muda se o deslocarmos por um certo número de graus ou realizarmos o experimento em um ponto diferente.
A invariância de rotação está associada à conservação do momento angular. Isso pode ser expresso matematicamente pela soma de todos os momentos angulares ser igual ao momento angular inicial:
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
Um exemplo clássico dessa conservação pode ser observado no caso de uma dançarina que altera seu momento de inércia estendendo ou contraindo os braços. Se o momento de inércia diminui, a velocidade angular aumenta e vice-versa.
ID:(7103, 0)
Invariante de ângulo (vetor)
Equação
A conservação do momento angular, introduzida para uma dimensão
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
pode ser generalizada para mais dimensões
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Dado que a conservação para uma dimensão é
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
se houver invariância nas outras dimensões, isso pode ser generalizado para cada dimensão
$\vec{L}0=(L_x,L_y,L_z)=\left(\displaystyle\sum_i L{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (L_{i,x},L_{i,y},L_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{L}_i$
assim
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Em muitos casos, a invariância ocorre em uma das dimensões e não nas outras. Em tais casos, não é possível generalizar a relação unidimensional para todas as dimensões.
ID:(1179, 0)
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Video
Vídeo: Conservações