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Théorème de Noether
Description 
En 1915, Emmy Noether découvre qu'il existe une relation entre les symétries et les conservations en physique. Chaque fois qu'un système est invariant par rapport à des changements dans une variable particulière, il en résulte une conservation d'une autre variable associée.
Particulièrement intéressantes sont les symétries dans :
• Le temps (conservation de l'énergie),
• Le déplacement (conservation de la quantité de mouvement) et
• La rotation (conservation du moment angulaire).
ID:(59, 0)
Invariant dans le temps
Équation
L'invariance (=pas de variation) par rapport au temps signifie que quelque chose ne change pas à mesure que le temps passe. En d'autres termes, si quelque chose se produit d'une certaine manière aujourd'hui, il se produira de la même manière demain.
L'invariance par rapport au temps est associée à la conservation de l'énergie. Cela signifie que la somme de toutes les énergies sera égale à l'énergie totale présente au début :
 $ E_1 = E_2 $ |
Un exemple est un corps dans un champ gravitationnel qui montre toujours le même comportement, ce qui indique que le champ gravitationnel ne dissipe pas l'énergie des corps en mouvement à l'intérieur.
ID:(1177, 0)
Position invariante
Équation
L'invariance de translation spatiale signifie que peu importe où nous réalisons une expérience. Si nous pouvons déplacer l'expérience dans une direction sans que le résultat ne change, nous disons qu'il y a une invariance de translation dans cette direction. Lorsqu'il y a une invariance de translation, la quantité de mouvement est conservée. Mathématiquement, cela s'exprime par la somme des quantités de mouvement étant toujours égale à la quantité de mouvement totale initiale :
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
Un exemple en est l'invariance de translation qui existe à la surface de la Terre. Tant que l'altitude ne varie pas, une expérience réalisée dans l'hémisphère nord ou sud donnera le même résultat. En d'autres termes, il y a une invariance de translation sur les axes $x$ et $y$ s'ils sont définis à la surface de la planète. La situation est différente en ce qui concerne l'altitude, car la force gravitationnelle varie, ce qui influence le déroulement des expériences. La conséquence de la symétrie de translation à la surface de la planète est que la quantité de mouvement est conservée. Si la masse ne varie pas, cela signifie que la vitesse sera constante.
ID:(12573, 0)
Invariant de position (vecteur)
Équation
La conservation du moment, initialement introduite pour une dimension
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
peut être généralisée à plusieurs dimensions
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Comme la conservation pour une dimension est
| $ p_0 = \displaystyle\sum_i p_i$ |
si l'invariance existe dans les autres dimensions, elle peut être généralisée pour chaque dimension
$\vec{p}0=(p_x,p_y,p_z)=\left(\displaystyle\sum_i p{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x},\displaystyle\sum_i p_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (p_{i,x},p_{i,y},p_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{p}_i$
ainsi,
| $ \vec{p}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{p}_i $ |
Dans de nombreux cas, l'invariance se produit dans l'une des dimensions et pas dans les autres. Dans ces cas, la relation unidimensionnelle ne peut pas être généralisée à toutes les dimensions.
ID:(1178, 0)
Angle invariant
Équation
L'invariance de rotation signifie que nous pouvons faire tourner une expérience et que son résultat restera inchangé. Un exemple est un satellite en rotation autour de la Terre. Pour lui, la situation ne change pas si nous le décalons d'un certain nombre de degrés ou si nous réalisons l'expérience à un point différent.
L'invariance de rotation est associée à la conservation du moment angulaire. Cela peut être exprimé mathématiquement par la somme de tous les moments angulaires étant égale au moment angulaire initial :
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
Un exemple classique de cette conservation peut être observé dans le cas d'une danseuse qui modifie son moment d'inertie en étendant ou en contractant ses bras. Si le moment d'inertie diminue, la vitesse angulaire augmente et vice versa.
ID:(7103, 0)
Angle invariant (vecteur)
Équation
La conservation du moment angulaire, introduite pour une dimension
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
peut être généralisée à plusieurs dimensions
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Comme la conservation pour une dimension est
| $ L_0 = \displaystyle\sum_i L_i $ |
si l'invariance existe dans les autres dimensions, elle peut être généralisée pour chaque dimension
$\vec{L}0=(L_x,L_y,L_z)=\left(\displaystyle\sum_i L{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x},\displaystyle\sum_i L_{i,x}\right)=\displaystyle\sum_i (L_{i,x},L_{i,y},L_{i,z})=\displaystyle\sum_i \vec{L}_i$
donc
| $ \vec{L}_0 = \displaystyle\sum_i \vec{L}_i $ |
Dans de nombreux cas, l'invariance se produit dans l'une des dimensions et non dans les autres. Dans de tels cas, il n'est pas possible de généraliser la relation unidimensionnelle à l'ensemble des dimensions.
ID:(1179, 0)
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Video
Vidéo: Conservations