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Kirchhoff's Laws
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For more complex circuits of energy sources and resistances, the so-called Kirchhoff's laws can be used to calculate the different currents that occur in the different sections.
ID:(1621, 0)
Objective: determine currents in a circuit
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Cuando estudiamos un circuito podemos determinar en forma directa las respectivas resistencias y potenciales de las fuentes (ej. baterias). Todos estos parámetros determinan como la corriente fluirá por el sistema. Esto se puede medir, si existe el circuito, o calcular, cuando se esta diseñado y aun no se cuenta con el sistema físicamente.
La pregunta es como se pueden calcular dichas corrientes.
ID:(12060, 0)
Define the variables to be determined
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Para determinar las corrientes debemos primero definir aquellas que pueden existir.
Para ello se debe comprender que las cargas se conservan, por lo que la corriente:
No varia a lo largo de una secuencia de elementos que no tienen otro conector
En cada bifurcación la suma total de flujos debe ser nula (o sea entran tantos electrones como salen)
ID:(12061, 0)
Condition at each node
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En cada nodo las corrientes que arriban deben en suma ser iguales a la suma de las que salen. En el caso de la imagen
se tiene que
$I_1 = I_2 + I_3$
En ese sentido, teniendo presente de que las que salen son negativas (se restan de las que entran), la suma de estas deben ser nulas. Esta condición se conoce como la primera ley de Kirchhoff.
ID:(12062, 0)
Kirchhoff's first law
Equation
La conservación de las cargas eléctricas implica que la suma de todas las corrientes que entran y salen de un nodo deben ser nulas. Con
| $ \displaystyle\sum_i I_i = 0$ |
ID:(12063, 0)
Energy conservation
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La suma de los potenciales a lo largo de cada loop o ciclo debe ser nula en función de que la energía se conserva. Esto significa que:
- Las resistencias contribuyen multiplicando la resistencia con la respectiva corriente. El signo del termino sera positivo depende de que la corriente fluya en el mismo sentido que la dirección en que se esta analizado. Si se oponen el elemento contribuye con un signo negativo.
- Para el caso de la batería se toma el potencial aportado y el signo se escoge de modo de que sera positivo si el flujo es en el sentido del análisis y la corriente emana del polo negativo (el que tiene la barra mas corta) o si el sentido es opuesto pero también la corriente emana del polo positivo. En el caso contrario el signo de la contribución es negativo.
Esto se resume en el siguiente diagrama:
ID:(12064, 0)
Kirchhoff's second law
Equation
La conservación de energía se da en cada subsistema cerrado. En el la suma de las diferencias de potencial eléctrico generados por fuentes y por resistencias mediante la ley de Ohm que con es
| $ \Delta\varphi = R I $ |
Dentro de esta suma eso si se debe respetar la dirección en que se van sumando las contribuciones. Para ello vale:
- las resistencias contribuyen en forma positiva si la dirección en que se van sumando coincide con la dirección del flujo de la corriente, de lo contrario contribuyen en forma negativa
- las fuentes contribuyen en forma positiva si están polarizadas (positivo > negativo) en la misma dirección que la dirección de suma, de lo contrario en forma negativa
Con la condición de considerar los signos de las diferencias de potenciales y corrientes se tiene que la segunda ley de Kirchhoff es con igual a
| $ \displaystyle\sum_i \Delta\varphi_i + \displaystyle\sum_i R_i I_i = 0 $ |
ID:(12081, 0)
Analysis process: identify nodes
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Como primer paso:
- identifique los notos, o sea puntos en que hay tres o mas contactos
ID:(12065, 0)
Analysis process: define currents
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Como segundo paso:
- asigne variables para las distintas corrientes
Para ello tenga en cuenta que las cargas se conservan por lo que muchos segmentos deben tener necesariamente corrientes ya definidas en otros.
Para cada nodo escriba la ecuación según la primera ley de Kirchhoff, es decir que la suma de las corrientes debe ser nula. Es posible que ecuaciones se repitan por efecto de que los ciclos se cierran.
ID:(12066, 0)
Analysis process: define the cells and the direction in which you will analyze them
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Dentro del circuito los nodos generan 'celdas' cerradas que se deben identificar señalando en el sentido que se analizarán:
Nota: el resultado final no depende del sentido que se escoja para realizar el análisis.
En el presente caso la suma es para el primer ciclo:
$R_2I_1 - \Delta\varphi_1 + R_1I_1 + R_3I_3 = 0 $
y para el segundo ciclo
$R_3I_3 - \Delta\varphi_2 +R_5I_2 +R_4I_2 = 0$
ID:(12067, 0)
Another example
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Otro ejemplo de circuito que se puede analizar se observa en el siguiente diagrama:
ID:(12068, 0)
Solution structure
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La solución tiene la siguiente forma:
Las ecuaciones que aquí se determinan son:
- la de conservación de cargas
$I_1 = I_2 + I_3$
- la conservación de energía en el primer ciclo
$R_1I_1 + R_4I_3 - \Delta\varphi_2 + R_5I_3 + R_8I_1 - \Delta\varphi_1 = 0$
- y el segundo ciclo
$R_2I_2 - \Delta\varphi_3 + R_6I_2 + R_7I_2 +\Delta\varphi_4 - R_5I_3 -\Delta\varphi_2 - R_4I_3 =0$
ID:(12069, 0)
