User: 
Ecuación para c_1
Equation 
En el modelo 1D en que solo se tienen dos "canales", uno basado en una membrana y el otro con el hatch, la ecuación para la concentración en la primera cavidad era
| d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12}) |
se reduce en que c_{11}=c_1(s) y c_{12}=c_1(0) donde s es el perímetro y el hatch se encuentra en el origen. En este caso la difusión para un punto s en particular se construye de lo que se intercambia con un punto s+ds que da un flujo
-D\displaystyle\frac{c(s)-c(s+ds)}{ds}
y con s-ds que da un flujo
-D\displaystyle\frac{c(s)-c(s-ds)}{ds}
por lo que se puede generalizar como
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s}) |
en donde por simetría:
- s va de cero hasta la mitad del perímetro
- la pendiente de la concentración es nula en el punto más lejano
ID:(8880, 0)
Ecuación para c_1 para s=0
Equation
En el caso l_1\gg l_2 se puede modelar el hatch como un "canal" unico en que se puede replicar en gran medida la ecuación del modelo 1D para el "canal" del hatch
| d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22}) |
En este caso c_{11} corresponde a c_{1,1} y c_{12} puede ser asociado a un c_{1,0}.
Por ello que se puede generalizar para s = 0 como
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0}) |
ID:(8882, 0)
Ecuación para c_1 para s=n
Equation
Como c_1 es simétrico respecto del hatch en el origen el indice s solo requiere recorrer la mitad del perímetro. Si el numero de elementos es n el c_1 en un punto s=n+1 tiene que tener el mismo valor que en s=n por lo que la expresión
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s}) |
se reduce a
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,n}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,n})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,n},c_{2,n}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,n-1}-c_{1,n}) |
ID:(8884, 0)
Ecuación para c_2
Equation
En el modelo 1D en que solo se tienen dos "canales", uno basado en una membrana y el otro con el hatch, la ecuación para la concentración en la primera cavidad era
| d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22}) |
se reduce en que c_{21}=c_2(s) y c_{22}=c_2(0) donde s es el perímetro y el hatch se encuentra en el origen. En este caso la difusión para un punto s en particular se construye de lo que se intercambia con un punto s+ds que da un flujo
-D\displaystyle\frac{c_2(s)-c_2(s+ds)}{ds}
y con s-ds que da un flujo
-D\displaystyle\frac{c_2(s)-c_2(s-ds)}{ds}
por lo que se puede generalizar para s > 0 como
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s}) |
en donde por simetría:
- s va de cero hasta la mitad del perímetro
- la pendiente de la concentración es nula en el punto más lejano
ID:(8881, 0)
Ecuación para c_2 para s=0
Equation
En el caso l_1\gg l_2 se puede modelar el hatch como un "canal" unico en que se puede replicar en gran medida la ecuación del modelo 1D para el "canal" del hatch
| d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3) |
En este caso c_{21} corresponde a c_{2,1} y c_{22} puede ser asociado a un c_{2,0}.
Por ello que se puede generalizar para s = 0 como
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{hd_2}D(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3) |
ID:(8883, 0)
Límite continuo no saturado para c_{1,s}
Equation
En el límite que d \ll 2\pi R el termino de la constante de difusión D se puede estimar con la segunda derivada en el perímetro s
\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{s,1})\sim D\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial s^2}c_{1,s}
Si ademas se asume que no se satura el flujo por las membranas se tiene que
j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_0-c_{1,s})\equiv D_{s0}(c_0-c_{1,s})
y
j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_{1,s}-c_{2,s})\equiv D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})
la ecuación
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s}) |
se reduce a:
| \displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(D_{s0}(c_0-c_{1,s})-D_{s1}(c_{1,s}-c_{2,s}))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{1,s}}{\partial s^2} |
ID:(8923, 0)
Límite continuo no saturado para c_{2,s}
Equation
En el límite que d \ll 2\pi R el termino de la constante de difusión D se puede estimar con la segunda derivada en el perímetro s
\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{s,2})\sim D\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial s^2}c_{2,s}
Si ademas se asume que no se satura el flujo por las membranas se tiene que
j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_{1,s}-c_{2,s})\equiv D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})
y
j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3)\sim \displaystyle\frac{j_{s1}}{c_{s1}}(c_{2,s}-c_3)\equiv D_{s1}(c_{2,s}-c_3)
la ecuación
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s}) |
se reduce a:
| \displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})-D_{s1}(c_{2,s}-c_3))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{2,s}}{\partial s^2} |
ID:(8924, 0)
Límite continuo no saturado para c_{1,0}
Equation
En el límite continuo el termino en la diferencia de concnetraciones a lo largo del perimtero se puede aproximar por la pendiente
\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})\sim\displaystyle\frac{2}{dl_2}D\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{1,s}(0)
mientras que en el limite de no saturado se tiene que
con lo que la ecuación
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0}) |
se reduce a
| \displaystyle\frac{\partial c_{1,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0}) |
ID:(8925, 0)
Límite continuo no saturado para c_{2,0}
Equation
En el límite continuo el termino en la diferencia de concnetraciones a lo largo del perimtero se puede aproximar por la pendiente
\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})\sim\displaystyle\frac{2}{l_2}D\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{2,s}(0)
mientras que en el limite de no saturado se tiene que
j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3)\sim \displaystyle\frac{j_{s2}}{c_{s2}}(c_{2,0}-c_3)\equiv D_{s2}(c_{2,0}-c_3)
con lo que la ecuación
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{hd_2}D(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3) |
se reduce a
| \displaystyle\frac{\partial c_{2,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3) |
ID:(8926, 0)
Control de Totales
Description
Las ecuaciones del sistema son para c_1 con
s=0:
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0}) |
$0
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s}) |
s=n;
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,n}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,n})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,n},c_{2,n}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,n-1}-c_{1,n}) |
y para c_2 con
s=0:
| $$ |
$0
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s}) |
s=n;
| $$ |
ID:(8896, 0)
Solución Constante c_1^0
Equation
En el caso estacionario e isotropico (o sea no existe variación perimetral) se da que las concnetraciones satisfacen
D_{s0}(c_0-c_1^0)-D_{s1}(c_1^0-c_2^0)=0
y
D_{s0}(c_1^0-c_2^0)-D_{s1}(c_2^0-c_3)=0
por lo que c_1^0 es:
| c_1^0=\displaystyle\frac{D_{s0}(D_{s0}+D_{s1})}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_0+\displaystyle\frac{D_{s1}^2}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_3 |
ID:(8927, 0)
Solución Constante c_2^0
Equation
En el caso estacionario e isotropico (o sea no existe variación perimetral) se da que las concnetraciones satisfacen
D_{s0}(c_0-c_1^0)-D_{s1}(c_1^0-c_2^0)=0
y
D_{s0}(c_1^0-c_2^0)-D_{s1}(c_2^0-c_3)=0
por lo que c_2^0 es:
| c_2^0=\displaystyle\frac{D_{s1}^2}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_0+\displaystyle\frac{D_{s1}(D_{s0}+D_{s1})}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_3 |
ID:(8928, 0)
Solución Constante c_{1,0}
Equation
En el caso estacionario en que a lo largo de la membrana las concentraciones sean constantes el factor pendiente de la ecuación de difusión en el hatch es nulo y se tiene para c_{1,0} y c_{2,0} que
\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})=0
y
\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)=0
por lo que c_{1,0} es:
| c_{1,0}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}{1+\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}}{1+\displaystyle\frac{D_{2s}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_3 |
ID:(8929, 0)
Solución Constante c_{2,0}
Equation
En el caso estacionario en que a lo largo de la membrana las concentraciones sean constantes el factor pendiente de la ecuación de difusión en el hatch es nulo y se tiene para c_{1,0} y c_{2,0} que
\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})=0
y
\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)=0
por lo que c_{2,0} es:
| c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}{1+\displaystyle\frac{D_{2s}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_3 |
ID:(8930, 0)
Dependencia Espacial
Description
Para el caso estacionario las ecuaciones de la parte de la solución que dependen del perimetro se obtienen de
| \displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(D_{s0}(c_0-c_{1,s})-D_{s1}(c_{1,s}-c_{2,s}))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{1,s}}{\partial s^2} |
y
| \displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})-D_{s1}(c_{2,s}-c_3))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{2,s}}{\partial s^2} |
siendo
\displaystyle\frac{d^2}{ds^2}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}c_{1,s}-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}\displaystyle\frac{D_{s1}}{D}c_{2,s}
y
\displaystyle\frac{d^2}{ds^2}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}c_{1,s}-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}\displaystyle\frac{D_{s0}}{D}c_{1,s}
ID:(8931, 0)
Vector de Onda
Equation
Si la ecuación del vector de onda es
(D_{s0}+D_{s1}-2\pi Rd_1Dk^2)(D_{s0}+D_{s1}-2\pi Rd_2Dk^2)=D_{s0}D_{s1}
se obtienen las raices:
| k^2=\displaystyle\frac{1}{4\pi R}\left(\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}\left(\displaystyle\frac{1}{d_1}+\displaystyle\frac{1}{d_2}\right)\pm\sqrt{4\displaystyle\frac{D_{s0}D_{s1}}{D^2d_1d_2}+\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})^2}{D^2}\left(\displaystyle\frac{1}{d_1}-\displaystyle\frac{1}{d_2}\right)^2}\right) |
ID:(8932, 0)
Solución Perimetral
Description
Como el vector de onda es positivo la solución es una suma de exponenciales e^{ks} y e^{-ks}. Por otro lado, como debe ser simetrica respecto del origen en s=0 y continua en el otro extremo s=\pi R se debe tener que la pendiente en dicho punto debe ser nula. Por ello la solución debe corresponder a un coseno hiperbolico. Si se considera el factor constante antes calculado será de la forma
c_1(s)=c_1^0+c_1(0)\displaystyl\frac{\cosh k(\pi R - s)}{\cosh k\pi R}
y
c_2(s)=c_2^0+c_2(0)\displaystyl\frac{\cosh k(\pi R - s)}{\cosh k\pi R}
donde c_1(0) y c_2(0) son las concnetraciones frente al hatch. Para calcular ambas concentraciones basta con reemplazar las funciones en
| \displaystyle\frac{\partial c_{1,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0}) |
y
| \displaystyle\frac{\partial c_{2,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3) |
Como la derivada en el origen es
\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{1,s}|_{s=0}=-k\tanh(k\pi R)
y
\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{2,s}|_{s=0}=-k\tanh(k\pi R)
las ecuaciones se pueden reinterpretar como si la cocnetración en el capilar c_0 es
$c_0\arrowright c_0+\displaystyle\frac{D}{D_{s0}\displaystyle\frac{4\piRd_1k}{l_2}\tanh(k\pi R)$
y
$c_3\arrowright c_3-\displaystyle\frac{D}{D_{s0}\displaystyle\frac{4\piRd_1k}{l_2}\tanh(k\pi R)$
ID:(8933, 0)
Ecuación para c_2 para s = n
Equation
Como c_2 es simétrico respecto del hatch en el origen el indice s solo requiere recorrer la mitad del perímetro. Si el numero de elementos es n el c_2 en un punto s=n+1 tiene que tener el mismo valor que en s=n por lo que la expresión
| \displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s}) |
se reduce a
| $$ |
ID:(8885, 0)
