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Ecuación para $c_1$
Equation 
En el modelo 1D en que solo se tienen dos "canales", uno basado en una membrana y el otro con el hatch, la ecuación para la concentración en la primera cavidad era
| $d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$ |
se reduce en que $c_{11}=c_1(s)$ y $c_{12}=c_1(0)$ donde $s$ es el perímetro y el hatch se encuentra en el origen. En este caso la difusión para un punto $s$ en particular se construye de lo que se intercambia con un punto $s+ds$ que da un flujo
$-D\displaystyle\frac{c(s)-c(s+ds)}{ds}$
y con $s-ds$ que da un flujo
$-D\displaystyle\frac{c(s)-c(s-ds)}{ds}$
por lo que se puede generalizar como
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s})$ |
en donde por simetría:
- $s$ va de cero hasta la mitad del perímetro
- la pendiente de la concentración es nula en el punto más lejano
ID:(8880, 0)
Ecuación para $c_1$ para $s=0$
Equation
En el caso $l_1\gg l_2$ se puede modelar el hatch como un "canal" unico en que se puede replicar en gran medida la ecuación del modelo 1D para el "canal" del hatch
| $d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$ |
En este caso $c_{11}$ corresponde a $c_{1,1}$ y $c_{12}$ puede ser asociado a un c_{1,0}.
Por ello que se puede generalizar para $s = 0$ como
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0})$ |
ID:(8882, 0)
Ecuación para $c_1$ para $s=n$
Equation
Como $c_1$ es simétrico respecto del hatch en el origen el indice $s$ solo requiere recorrer la mitad del perímetro. Si el numero de elementos es $n$ el $c_1$ en un punto $s=n+1$ tiene que tener el mismo valor que en $s=n$ por lo que la expresión
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s})$ |
se reduce a
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,n}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,n})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,n},c_{2,n}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,n-1}-c_{1,n})$ |
ID:(8884, 0)
Ecuación para $c_2$
Equation
En el modelo 1D en que solo se tienen dos "canales", uno basado en una membrana y el otro con el hatch, la ecuación para la concentración en la primera cavidad era
| $d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$ |
se reduce en que $c_{21}=c_2(s)$ y $c_{22}=c_2(0)$ donde $s$ es el perímetro y el hatch se encuentra en el origen. En este caso la difusión para un punto $s$ en particular se construye de lo que se intercambia con un punto $s+ds$ que da un flujo
$-D\displaystyle\frac{c_2(s)-c_2(s+ds)}{ds}$
y con $s-ds$ que da un flujo
$-D\displaystyle\frac{c_2(s)-c_2(s-ds)}{ds}$
por lo que se puede generalizar para $s > 0$ como
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s})$ |
en donde por simetría:
- $s$ va de cero hasta la mitad del perímetro
- la pendiente de la concentración es nula en el punto más lejano
ID:(8881, 0)
Ecuación para $c_2$ para $s=0$
Equation
En el caso $l_1\gg l_2$ se puede modelar el hatch como un "canal" unico en que se puede replicar en gran medida la ecuación del modelo 1D para el "canal" del hatch
| $d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$ |
En este caso $c_{21}$ corresponde a $c_{2,1}$ y $c_{22}$ puede ser asociado a un c_{2,0}.
Por ello que se puede generalizar para $s = 0$ como
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{hd_2}D(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3)$ |
ID:(8883, 0)
Límite continuo no saturado para $c_{1,s}$
Equation
En el límite que $d \ll 2\pi R$ el termino de la constante de difusión $D$ se puede estimar con la segunda derivada en el perímetro $s$
$\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{s,1})\sim D\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial s^2}c_{1,s}$
Si ademas se asume que no se satura el flujo por las membranas se tiene que
$j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_0-c_{1,s})\equiv D_{s0}(c_0-c_{1,s})$
y
$j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_{1,s}-c_{2,s})\equiv D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})$
la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s})$ |
se reduce a:
| $\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(D_{s0}(c_0-c_{1,s})-D_{s1}(c_{1,s}-c_{2,s}))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{1,s}}{\partial s^2}$ |
ID:(8923, 0)
Límite continuo no saturado para $c_{2,s}$
Equation
En el límite que $d \ll 2\pi R$ el termino de la constante de difusión $D$ se puede estimar con la segunda derivada en el perímetro $s$
$\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{s,2})\sim D\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial s^2}c_{2,s}$
Si ademas se asume que no se satura el flujo por las membranas se tiene que
$j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})\sim \displaystyle\frac{j_{s0}}{c_{s0}}(c_{1,s}-c_{2,s})\equiv D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})$
y
$j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3)\sim \displaystyle\frac{j_{s1}}{c_{s1}}(c_{2,s}-c_3)\equiv D_{s1}(c_{2,s}-c_3)$
la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s})$ |
se reduce a:
| $\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})-D_{s1}(c_{2,s}-c_3))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{2,s}}{\partial s^2}$ |
ID:(8924, 0)
Límite continuo no saturado para $c_{1,0}$
Equation
En el límite continuo el termino en la diferencia de concnetraciones a lo largo del perimtero se puede aproximar por la pendiente
$\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})\sim\displaystyle\frac{2}{dl_2}D\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{1,s}(0)$
mientras que en el limite de no saturado se tiene que
con lo que la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0})$ |
se reduce a
| $\displaystyle\frac{\partial c_{1,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})$ |
ID:(8925, 0)
Límite continuo no saturado para $c_{2,0}$
Equation
En el límite continuo el termino en la diferencia de concnetraciones a lo largo del perimtero se puede aproximar por la pendiente
$\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})\sim\displaystyle\frac{2}{l_2}D\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{2,s}(0)$
mientras que en el limite de no saturado se tiene que
$j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3)\sim \displaystyle\frac{j_{s2}}{c_{s2}}(c_{2,0}-c_3)\equiv D_{s2}(c_{2,0}-c_3)$
con lo que la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{hd_2}D(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{2,1}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{2,0},c_3)$ |
se reduce a
| $\displaystyle\frac{\partial c_{2,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)$ |
ID:(8926, 0)
Control de Totales
Description
Las ecuaciones del sistema son para $c_1$ con
$s=0$:
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,0}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,0})+\displaystyle\frac{2}{dl_2}D(c_{1,1}-c_{1,0})-\displaystyle\frac{1}{hd_1}D(c_{1,0}-c_{2,0})$ |
$0
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,s},c_{2,s}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,s+1}+c_{1,s-1}-2c_{1,s})$ |
$s=n$;
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{1,n}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{1,n})-j(j_{s1},c_{s1},c_{1,n},c_{2,n}))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{1,n-1}-c_{1,n})$ |
y para $c_2$ con
$s=0$:
| $$ |
$0
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s})$ |
$s=n$;
| $$ |
ID:(8896, 0)
Solución Constante $c_1^0$
Equation
En el caso estacionario e isotropico (o sea no existe variación perimetral) se da que las concnetraciones satisfacen
$D_{s0}(c_0-c_1^0)-D_{s1}(c_1^0-c_2^0)=0$
y
$D_{s0}(c_1^0-c_2^0)-D_{s1}(c_2^0-c_3)=0$
por lo que $c_1^0$ es:
| $c_1^0=\displaystyle\frac{D_{s0}(D_{s0}+D_{s1})}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_0+\displaystyle\frac{D_{s1}^2}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_3$ |
ID:(8927, 0)
Solución Constante $c_2^0$
Equation
En el caso estacionario e isotropico (o sea no existe variación perimetral) se da que las concnetraciones satisfacen
$D_{s0}(c_0-c_1^0)-D_{s1}(c_1^0-c_2^0)=0$
y
$D_{s0}(c_1^0-c_2^0)-D_{s1}(c_2^0-c_3)=0$
por lo que $c_2^0$ es:
| $c_2^0=\displaystyle\frac{D_{s1}^2}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_0+\displaystyle\frac{D_{s1}(D_{s0}+D_{s1})}{D_{s1}^2+D_{s0}D_{s1}+D_{s0}^2}c_3$ |
ID:(8928, 0)
Solución Constante $c_{1,0}$
Equation
En el caso estacionario en que a lo largo de la membrana las concentraciones sean constantes el factor pendiente de la ecuación de difusión en el hatch es nulo y se tiene para $c_{1,0}$ y $c_{2,0}$ que
$\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})=0$
y
$\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)=0$
por lo que $c_{1,0}$ es:
| $c_{1,0}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}{1+\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}}{1+\displaystyle\frac{D_{2s}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_3$ |
ID:(8929, 0)
Solución Constante $c_{2,0}$
Equation
En el caso estacionario en que a lo largo de la membrana las concentraciones sean constantes el factor pendiente de la ecuación de difusión en el hatch es nulo y se tiene para $c_{1,0}$ y $c_{2,0}$ que
$\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})=0$
y
$\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)=0$
por lo que $c_{2,0}$ es:
| $c_{2,0}=\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{D_{s2}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}{1+\displaystyle\frac{D_{2s}}{D_{s0}}+\displaystyle\frac{h}{2\pi R}\displaystyle\frac{D_{s2}}{D}}c_3$ |
ID:(8930, 0)
Dependencia Espacial
Description
Para el caso estacionario las ecuaciones de la parte de la solución que dependen del perimetro se obtienen de
| $\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}(D_{s0}(c_0-c_{1,s})-D_{s1}(c_{1,s}-c_{2,s}))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{1,s}}{\partial s^2}$ |
y
| $\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial t}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(D_{s0}(c_{1,s}-c_{2,s})-D_{s1}(c_{2,s}-c_3))+D\displaystyle\frac{\partial^2c_{2,s}}{\partial s^2}$ |
siendo
$\displaystyle\frac{d^2}{ds^2}c_{1,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}c_{1,s}-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_1}\displaystyle\frac{D_{s1}}{D}c_{2,s}$
y
$\displaystyle\frac{d^2}{ds^2}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}c_{1,s}-\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}\displaystyle\frac{D_{s0}}{D}c_{1,s}$
ID:(8931, 0)
Vector de Onda
Equation
Si la ecuación del vector de onda es
$(D_{s0}+D_{s1}-2\pi Rd_1Dk^2)(D_{s0}+D_{s1}-2\pi Rd_2Dk^2)=D_{s0}D_{s1}$
se obtienen las raices:
| $k^2=\displaystyle\frac{1}{4\pi R}\left(\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})}{D}\left(\displaystyle\frac{1}{d_1}+\displaystyle\frac{1}{d_2}\right)\pm\sqrt{4\displaystyle\frac{D_{s0}D_{s1}}{D^2d_1d_2}+\displaystyle\frac{(D_{s0}+D_{s1})^2}{D^2}\left(\displaystyle\frac{1}{d_1}-\displaystyle\frac{1}{d_2}\right)^2}\right)$ |
ID:(8932, 0)
Solución Perimetral
Description
Como el vector de onda es positivo la solución es una suma de exponenciales $e^{ks}$ y $e^{-ks}$. Por otro lado, como debe ser simetrica respecto del origen en $s=0$ y continua en el otro extremo $s=\pi R$ se debe tener que la pendiente en dicho punto debe ser nula. Por ello la solución debe corresponder a un coseno hiperbolico. Si se considera el factor constante antes calculado será de la forma
$c_1(s)=c_1^0+c_1(0)\displaystyl\frac{\cosh k(\pi R - s)}{\cosh k\pi R}$
y
$c_2(s)=c_2^0+c_2(0)\displaystyl\frac{\cosh k(\pi R - s)}{\cosh k\pi R}$
donde $c_1(0)$ y $c_2(0)$ son las concnetraciones frente al hatch. Para calcular ambas concentraciones basta con reemplazar las funciones en
| $\displaystyle\frac{\partial c_{1,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D_{s0}}{2\pi Rd_1}(c_0-c_{1,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{1,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D}{hd_1}(c_{1,0}-c_{2,0})$ |
y
| $\displaystyle\frac{\partial c_{2,0}}{\partial t}=\displaystyle\frac{D}{hd_2}(c_{1,0}-c_{2,0})+\displaystyle\frac{2D}{l_2}\displaystyle\frac{\partial c_{2,s}}{\partial s}-\displaystyle\frac{D_{s2}}{2\pi Rd_2}(c_{2,0}-c_3)$ |
Como la derivada en el origen es
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{1,s}|_{s=0}=-k\tanh(k\pi R)$
y
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}c_{2,s}|_{s=0}=-k\tanh(k\pi R)$
las ecuaciones se pueden reinterpretar como si la cocnetración en el capilar $c_0$ es
$c_0\arrowright c_0+\displaystyle\frac{D}{D_{s0}\displaystyle\frac{4\piRd_1k}{l_2}\tanh(k\pi R)$
y
$c_3\arrowright c_3-\displaystyle\frac{D}{D_{s0}\displaystyle\frac{4\piRd_1k}{l_2}\tanh(k\pi R)$
ID:(8933, 0)
Ecuación para $c_2$ para $s = n$
Equation
Como $c_2$ es simétrico respecto del hatch en el origen el indice $s$ solo requiere recorrer la mitad del perímetro. Si el numero de elementos es $n$ el $c_2$ en un punto $s=n+1$ tiene que tener el mismo valor que en $s=n$ por lo que la expresión
| $\displaystyle\frac{d}{dt}c_{2,s}=\displaystyle\frac{1}{2\pi Rd_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_{1,s},c_{2,s})-j(j_{s1},c_{s1},c_{2,s},c_3))+\displaystyle\frac{1}{d^2}D(c_{2,s+1}+c_{2,s-1}-2c_{2,s})$ |
se reduce a
| $$ |
ID:(8885, 0)
