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Relaciones
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Las relaciones generales que cumplen las integrales y como estas se pueden emplear en su resolución.

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ID:(450, 0)


Cambio de Variables en un Integral
Ecuación

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En algunas ocasiones conviene realizar un cambio de variable en que uno reemplaza la variable x por una variable x que es

u=u(x)

En tal caso la integral en x se puede llevara a una integral en u si la función del argumento del integral se reemplaza por

f(x)dx=f(u)\displaystyle\frac{dx}{du}du

mientras que el rango pasa de los valores [a,b] a [u(a),u(b)]. Con ello la integral pasa a ser

$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\displaystyle\frac{dx}{du}du$

Un ejemplo es el integral

\displaystyle\int_0^{\pi}dx\cos(ax)

Si se introduce un u tal que

u=ax

se tiene

\displaystyle\int_0^{a\pi}\displaystyle\frac{du}{a}\cos(u)

ID:(3586, 0)


Factor constante
Ecuación

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La integración de una constante es igual a la constante por la variable integrada:

$\displaystyle\int a\,dx=a\,x$

ID:(4714, 0)


Función con factor constante
Ecuación

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Si se integra una función f multiplicada por una constante a se tiene que

$\displaystyle\int a\,f(x)dx=a\displaystyle\int f(x)dx$

o sea es igual a la constante por la integral de la función.

ID:(4715, 0)


Integración por Partes
Ecuación

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Si se integra la derivada de un producto de funciones

\displaystyle\frac{d}{dx}(fg)=\displaystyle\frac{df}{dx}g+f\displaystyle\frac{dg}{dx}

se obtiene la relación

f(x)g(x)=\displaystyle\int dx\displaystyle\frac{df}{dx}g(x)+\int dx f(x)\displaystyle\frac{dg}{dx}

lo que se puede reescribir como

$\displaystyle\int dx\displaystyle\displaystyle\frac{df}{dx}g(x)=f(x)g(x)-\int dx f(x)\displaystyle\displaystyle\frac{dg}{dx}$

Este mecanismo se denomina integración por partes y ayuda y se emplea en situaciones en que se busca calcular la integral de una función de la cual se conoce su derivada. Un ejemplo es el logaritmo natural cuya derivada es

\displaystyle\frac{d}{dx}ln x=\displaystyle\frac{1}{x}

Si se considera la función g(x)=x se tiene que

\displaystyle\int dx ln x = x\ln(x)-\displaystyle\int dx = x\ln x-x

ID:(3588, 0)


Integral de la Función Exponencial
Ecuación

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Como la derivada de la exponencial es

\displaystyle\frac{d}{dx}e^x = e^x

la integral será

$\displaystyle\int dx\,e^x=e^x$

ID:(3583, 0)


Integral de la Suma de Funciones
Ecuación

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La integral de la suma de dos funciones f y g es igual a la suma de las integrales de cada función:

$\displaystyle\int (f(x)+g(x))dx=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x)dx$

ID:(3587, 0)


Integral Definida de una Potencia
Ecuación

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Como la integral indefinida de una potencia es

\displaystyle\int dx,x^n=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}

la integral definida será

$\displaystyle\int_a^b dx\,x^n=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})$

ID:(3582, 0)


Integral Indefinida de una Potencia
Ecuación

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Al ser

\displaystyle\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

podemos reescribir esta expresión como

\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{x^{n+1}}{n+1} = x^n

por lo que aplicando la integral a esta expresión se obtiene

$\displaystyle\int dx\,x^n=\displaystyle\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}$

ID:(3581, 0)


Relación entre Derivada e Integral
Ecuación

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La integral es la función inversa de la derivada, es decir si se integra una función f que hemos derivado recuperamos la función original f:

\displaystyle\int \displaystyle\frac{df}{dx}dx = f(x)

o a la inversa si se deriva una integral se obtiene

$\displaystyle\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int f(x)dx = f(x)$

ID:(3580, 0)