En el caso no relativista cl sico la energ a cin tica de un gas de N part culas de masa m se puede calcular simplemente sumando sobre las energ as cin ticas de cada part cula con :

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La energ a potencial U de un gas de N part culas se puede calar sumando sobre todas las energ as potenciales u_{ij} para los pares de part culas i y j. Si se suma sobre ambos indices solo eliminando los casos en que ambos ndices son iguales debemos incluir un factor 1/2 dado que cada dupla se esta contando dos veces.

Por ello la energ a potencial total ser con :

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Un ejemplo de potencial entre dos part culas es el potencial de Lennard Jones que cuenta con una secci n que repele que ambas part culas se superpongan pero tiene un mbito m s lejano en que se atraen con .

En este caso u_0 es el m nimo del potencial y a la distancia en que este es nulo. El m nimo se encuentra en este caso en 2^{1/6}a.

Los altos exponentes, 12 para la parte repelente y 6 para la atractiva, hace que el n cleo sea dif cil de penetrar y la atracci n se corto alcance.

Valore t picos de los par metros son para u_0\sim 10^{-21}J y a\sim 0.3\times 10^{-9}m.

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Para poder calcular la funci n partici n del potencial Z_U se puede trabajar primero sobre la energ a potencial promedio que se puede calcular empleando la distribuci n can nica:\\n\\n

$\bar{U}=\displaystyle\frac{\displaystyle\int\prod_i d^3q_i Ue^{-\beta U}}{\displaystyle\int\prod_i d^3q_i e^{-\beta U}}$

Como esta expresi n se deja escribir como la derivada parcial de la funci n partici n del potencial respecto del factor beta con

\\n\\nse tiene la ecuaci n diferencial de primer orden\\n\\n

$\bar{U}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_U$

\\n\\nen \beta. Si se integra esta expresi n y se recuerda que en el l mite \beta\rightarrow 0 el potencial no tiene relevancia siendo\\n\\n

$Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}\sim\int\prod_i^Nd^3q_i=V^N$

se obtiene la expresi n con

con N el n mero de part culas.

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El problema es que el promedio de la energ a potencial con potencial de interacción por pares $J$ y potencial de interacción total $J$

es la suma sobre los promedios de todas las interacciones entre pares de part culas \bar{u}. Como cada una de las N part culas tiene N-1 part culas con que interact a, existen N(N-1)/2 interacciones. El factor 2 se debe a que cada par es contado doble. Como el numero N es muy grande N-1\sim N y el promedio de la energ a potencial es con potencial de interacción por pares $J$ y potencial de interacción total $J$

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En general V es mucho mas grande que I por lo que la energ a potencial media entre dos part culas es\\n\\n

$\bar{u}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\int e^{-\beta u(q)}d^3q$

\\n\\nque con\\n\\n

$\displaystyle\int d^3q e^{-\beta u(q)}=V+I(\beta)$

y V\gg \bar{u} se obtiene que con

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Con la expresi n de la energ a potencial media entre dos part culas con beta $1/J$, función $I$ $J$, potencial de interacción por pares promedio $J$ y volumen $m^3$

y la relaci n con numero de partículas $-$, potencial de interacción por pares promedio $J$ y potencial de interacción total promedio $J$

se obtiene con numero de partículas $-$, potencial de interacción por pares promedio $J$ y potencial de interacción total promedio $J$

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