Das Problem des zuf lligen Pfades ist ein Beispiel daf r, wie man aus der mikroskopischen Beschreibung die wahrscheinliche zeitliche Entwicklung vorhersagen kann. In diesem Fall wird angenommen, dass ein Akteur (Partikel, Person usw.) zuf llig ausw hlt, ob er einen Schritt nach rechts oder nach links macht. Es wird angenommen, dass die Schritte eine L nge a haben und dass die Wahrscheinlichkeit, nach rechts zu gehen, p und nach links q ist:

image

El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con list es:

En el modelar el camino aleatorio se deben considerar que se hace un cierto numero de pasos hacia la derecha y otro tanto hacia la izquierda ocurriendo esto en un tiempo que depende del numero de pasos y del tiempo que demora cada uno.

Dicho tiempo es por tanto, con list=501 igual a

El camino recorrido correspondiente es entonces, con list igual a

Nota: esta discretizaci n no es una condici n para modelar el caso ya que se pueden introducir distribuciones de probabilidades de que el paso ocurra en un tiempo t como el largo del paso se puede asociar a una distribuci n de largos de pasos.

El desplazamiento ocurrir con ciertas probabilidades en direcci n de la derecha e izquierda. Si esta fuera igual tender an a ocurrir la misma cantidad de pasos hacia la derecha como la izquierda con lo que la posici n final terminar a siendo pr xima al origen. Si una de ambas probabilidades es mucho mayor tendera a favorecerse uno de ambos pasos y se tender a a terminar desplazado en la direcci n mas favorable.

Si los pasos son independientes el uno del otro la probabilidad de una cierta secuencia solo depender la la multiplicaci n de las probabilidades de los pasos individuales.Por ello con list se tiene que la probabilidad de una secuencia especifica de pasos es:

El numero total de pasos es igual a la suma de los pasos hacia la derecha y aquellos hacia la izquierda, por lo que con list>/druyd> se tiene que

equation

Hasta aqu se consideraron secuencias especificas de pasos dados hacia la derecha y la izquierda sin embargo existen una serie de alternativas con que se puede realizar la caminata todas terminando en el mismo punto.

Por ello se debe calcula el numero de combinaciones posibles lo que con list esta dado por

Con la probabilidad de una secuencia en particular y el numero de secuencias posibles se puede calcular con el producto la probabilidad de cualquier secuencia que termina considera el mismo numero de pasos hacia la derecha como hacia la izquierda.

Por ello con list se tiene que

Como la probabilidad de realizar un numero de pasos hacia la derecha y otro hacia la izquierda en cualquier secuencia posible es con list=8980 igual a

se tiene que con list=505 el numero de combinaciones es

y con list=504 la probabilidad de dar en una secuencia espec fica

que con list la probabilidad es

Si el desplazamiento solo es hacia la derecha o la izquierda y no existe otra alternativa de no realizar el paso, la suma de las probabilidades de dar pasos a hacia la derecha e izquierda debe ser igual a la unidad.

Por ello con list se tiene que

Con list=8970 la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

con list=3358 el n mero total de pasos es

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con list=8965 se tiene para las probabilidades que

por lo que con list se tiene la distribuci n binomial

Das Ergebnis der Berechnung entspricht einer sogenannten Binomialverteilung. Jede Zeile gibt an, wie oft der Akteur nach einer Anzahl von N von Schritten an dieser Position landet. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, es nach N Schritten an dieser Stelle zu finden:

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