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Energia cinética total
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A energia cinética total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.
Essa distinção é importante porque, dependendo de como um objeto se move, a energia cinética pode ser distribuída de maneira diferente entre translação e rotação, afetando a velocidade com que se move.
ID:(1418, 0)
Cilindro que gira em torno do eixo $\parallel$
Imagem
Uma rotação de um cilindro com massa $m$ e raio $r$ em torno do eixo do cilindro, onde o centro de massa (CM) está localizado a meia altura:
ID:(10964, 0)
Esfera
Nota
Uma esfera com massa $m$ e raio $r$ está girando em torno do seu centro de massa, que se localiza no centro da esfera:
ID:(10490, 0)
Energia cinética total
Descrição
A energia cinética total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Essa distinção é importante porque, dependendo de como um objeto se move, a energia cinética pode ser distribuída de maneira diferente entre translação e rotação, afetando a velocidade com que se move.
Variáveis
Cálculos
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depois, selecione a variável: 
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Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
A energia necess ria para que um objeto passe da velocidade angular $\omega_1$ para a velocidade angular $\omega_2$ pode ser calculada usando a defini o
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Com a segunda lei de Newton, podemos reescrever essa express o como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Usando a defini o de velocidade angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
A diferen a entre as velocidades angulares
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por outro lado, a pr pria velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular m dia
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Usando ambas as express es, obtemos a equa o
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Assim, a energia varia de acordo com
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Podemos usar isso para definir a energia cin tica
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
(ID 3244)
La variação de trabalho ($\Delta W$) necessária para que um objeto mude de la velocidade angular inicial ($\omega_0$) para la velocidade angular ($\omega$) é obtida aplicando um la torque ($T$) que gera um deslocamento angular la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), de acordo com:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, em função de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \alpha $ |
essa expressão pode ser reescrita como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
ou, utilizando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
temos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Utilizando a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtém-se:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
onde la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) é expresso como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por outro lado, a velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular média:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas as expressões, obtemos:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Assim, a variação da energia é expressa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Isso nos permite definir a energia cinética de rotação como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
(ID 3686)
Quando um objeto rola, sua velocidade angular est relacionada velocidade de transla o por meio de
| $ v = r \omega $ |
resultando na energia cin tica de rota o
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
que se torna
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
Assim, combinando a energia cin tica de transla o
a energia cin tica de um corpo que gira calculada pela soma
| $ K = K_t + K_r $ |
ou seja,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
(ID 9877)
La energia cinética total ($K$) corresponde à soma de la energia cinética translacional ($K_t$) e la energia cinética rotacional ($K_r$):
| $ K = K_t + K_r $ |
Sendo que la energia cinética translacional ($K_t$) se expressa em função de la massa inercial ($m_i$) e la velocidade ($v$):
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2$ |
e la energia cinética rotacional ($K_r$), em função de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la velocidade angular ($\omega$), é definida como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
obtém-se, portanto, a expressão final:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 9944)
Exemplos
(ID 15605)
(ID 15607)
La energia cinética translacional ($K_t$) é determinado em função de la velocidade ($v$) e la massa inercial ($m_i$), de acordo com:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
5288 está associado a 6290 e não a 8762, embora sejam numericamente iguais. A energia que um objeto possui é uma consequência direta da inércia que foi necessário vencer para colocá-lo em movimento.
(ID 3244)
La energia cinética rotacional ($K_r$) é uma função de la velocidade angular ($\omega$) e de uma medida de inércia representada por la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$):
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
La energia cinética total ($K$) pode ter componentes de translação e/ou de rotação. Portanto, é expressa como a soma de la energia cinética translacional ($K_t$) e la energia cinética rotacional ($K_r$):
| $ K = K_t + K_r $ |
(ID 3686)
La energia cinética total ($K$), quando existe tanto uma translação que depende de la massa inercial ($m_i$) e la velocidade ($v$) quanto uma rotação que depende de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la velocidade angular ($\omega$), pode ser calculada como:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 9944)
Quando um objeto rola,
sua velocidade angular est relacionada velocidade de transla o por meio de
| $ v = r \omega $ |
resultando na energia cin tica de rota o
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
e, consequentemente, gerando uma energia cin tica total
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
(ID 9877)
ID:(1418, 0)