Druyd:Knowledge

Énergie cinétique de rotation et moments d'inertie

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L'énergie cinétique de rotation est une fonction de la vitesse angulaire atteinte grâce à l'application d'un couple pendant un certain temps tout en parcourant un angle donné. Ainsi, l'énergie cinétique de rotation est proportionnelle au moment d'inertie de l'objet et au carré de la vitesse angulaire.

>Modèle

ID:(1417, 0)

Simulation de l'énergie cinétique de rotation

Description

<druyd>simulation</druyd>

ID:(15604, 0)

Barre qui tourne autour d'un axe $\perp$

Description

Une barre de masse $m$ et de longueur $l$ qui tourne autour de son centre, qui coïncide avec le centre de masse : <druyd>image</druyd>

ID:(10962, 0)

Cylindre qui tourne autour de l'axe $\parallel$

Description

Considérons une rotation d'un cylindre de masse $m$ et de rayon $r$ autour de l'axe du cylindre, où le centre de masse (CM) se situe à mi-hauteur : <druyd>image</druyd>

ID:(10964, 0)

Cylindre qui tourne autour de l'axe $\perp$

Description

Dans cette situation, un cylindre avec une masse $m$, un rayon $r$ et une hauteur $h$ tourne autour d'un axe perpendiculaire à son propre axe. Cet axe passe par le milieu de la longueur du cylindre, où se trouve le centre de masse (CM) : <druyd>image</druyd>

ID:(10965, 0)

Sphère

Description

Une sphère de masse $m$ et de rayon $r$ tourne autour de son centre de masse, qui est situé au centre de celle-ci : <druyd>image</druyd>

ID:(10490, 0)

Moment d'inertie d'un parallélépipède régulier

Description

Un parallélépipède rectangle de masse $m$ et de côtés $a$ et $b$, perpendiculaire à l'axe de rotation, tourne autour de son centre de masse, qui se trouve au centre géométrique du corps: <druyd>image</druyd>

ID:(10973, 0)

Parallélépipède droit

Description

Dans le cas d'un parallélépipède rectangle avec une masse $m$ et un côté $a$, le centre de masse se situe au centre géométrique : <druyd>image</druyd>

ID:(10963, 0)

Modèle d'énergie cinétique de rotation

Description

<druyd>model</druyd>

ID:(15606, 0)

Moment d'inertie

Description

En dynamique rotationnelle, le moment dinertie joue un rôle équivalent à celui de la masse inerte en translation. Cependant, contrairement à la masse, le moment dinertie dépend de la géométrie du corps et de la façon dont sa masse est répartie par rapport à laxe de rotation. Son calcul est donc indispensable pour chaque situation que lon souhaite modéliser.

Variables

Symbole

Texte

Variable

Valeur

Unités

Calculer

Valor MKS

Unités MKS

$d$

Distance centre de masse et axe

$K_r$

K_r

Énergie cinétique de rotation

$h$

Hauteur du cylindre

$b$

Largeur du bord d\'un parallélépipède droit

$l$

Longueur de barre mince

$a$

Longueur d\'arête d\'un parallélépipède rectangle

$m$

Masse corporelle

$I$

Moment d'inertie

kg m^2

$I$

Moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM

kg m^2

$I_{CM}$

I_CM

Moment d\'inertie du centre de masse

kg m^2

$r_e$

r_e

Rayon de la sphère

$r_c$

r_c

Rayon du cylindre

$\omega$

omega

Vitesse angulaire

rad/s

Calculs

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation:

, puis, sélectionnez la variable:

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable

Donnée

Calculer

Cible :

Équation

À utiliser

Équations

$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$

K_r = I * omega ^2/2

<var>5270</var> nécessaire pour quun objet passe de <var>5295</var> à <var>6068</var> est obtenue en appliquant un <var>4988</var> qui produit un déplacement angulaire <var>5299</var>, selon : <druyd>equation=12550</druyd> En appliquant la deuxième loi de Newton pour la rotation, avec <var>5315</var> et <var>4970</var> : <druyd>equation=3253</druyd> cette expression peut être réécrite comme : <meq>\Delta W = I \alpha \Delta\theta</meq> ou, en utilisant <var>5277</var> et <var>5103</var> : <druyd>equation=3234</druyd> nous obtenons : <meq>\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta</meq> En utilisant la définition de <var>9943</var> et <var>5103</var> : <druyd>equation=3679</druyd> il en résulte : <meq>\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega</meq> où <var>5277</var> sexprime comme : <druyd>equation=3681</druyd> Dautre part, la vitesse angulaire peut être approximée par la vitesse angulaire moyenne : <meq>\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}</meq> En combinant les deux expressions, on obtient léquation : <meq>\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)</meq> Ainsi, la variation dénergie sexprime comme : <meq>\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2</meq> Cela permet de définir lénergie cinétique de rotation comme : <druyd>equation</druyd>

(ID 3255)

$ I = I_{CM} + m d ^2$

I = I_CM + m * d ^ 2

(ID 3688)

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$

I_CM = m * l ^ 2 / 12

Le moment d'inertie d'une barre en rotation autour d'un axe perpendiculaire ($\perp$) passant par le centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant : <druyd>equation=10583</druyd> ce qui aboutit <druyd>equation</druyd>.

(ID 4432)

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$

I_CM = m * ( a ^ 2 + b ^ 2 ) / 12

Le moment d'inertie d'un parall l pip de en rotation autour d'un axe passant par son centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant : <druyd>equation=10583</druyd> ce qui aboutit <druyd>equation</druyd>.

(ID 4433)

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$

I_CM = m * r_c ^2/2

Le moment d'inertie d'un cylindre en rotation autour d'un axe parall le ($\parallel$) son axe central est obtenu en segmentant le corps en petits volumes et en les additionnant : <druyd>equation=10583</druyd> ce qui aboutit <druyd>kyon</druyd>.

(ID 4434)

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$

I_CM = m * ( h ^ 2 + 3 * r_c ^ 2 ) / 12

Le moment d'inertie d'un cylindre en rotation autour d'un axe perpendiculaire ($\perp$) passant par le centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant : <druyd>equation=10583</druyd> ce qui aboutit <druyd>kyon</druyd>.

(ID 4435)

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$

I_CM = 2 * m * r_e ^ 2 / 5

Le moment d'inertie d'une sph re en rotation autour d'un axe passant par son centre est obtenu en segmentant le corps en petits volumes et en les additionnant : <druyd>equation=10583</druyd> ce qui donne comme r sultat : <druyd>equation</druyd>.

(ID 4436)

Exemples

M canismes

<druyd>mechanisms</druyd>

(ID 15604)

Barre qui tourne autour d'un axe $\perp$

Une barre de masse $m$ et de longueur $l$ qui tourne autour de son centre, qui co ncide avec le centre de masse : <druyd>image</druyd>

(ID 10962)

Cylindre qui tourne autour de l'axe $\parallel$

Consid rons une rotation d'un cylindre de masse $m$ et de rayon $r$ autour de l'axe du cylindre, o le centre de masse (CM) se situe mi-hauteur : <druyd>image</druyd>

(ID 10964)

Cylindre qui tourne autour de l'axe $\perp$

Dans cette situation, un cylindre avec une masse $m$, un rayon $r$ et une hauteur $h$ tourne autour d'un axe perpendiculaire son propre axe. Cet axe passe par le milieu de la longueur du cylindre, o se trouve le centre de masse (CM) : <druyd>image</druyd>

(ID 10965)

Sph re

Une sph re de masse $m$ et de rayon $r$ tourne autour de son centre de masse, qui est situ au centre de celle-ci : <druyd>image</druyd>

(ID 10490)

Moment d'inertie d'un parall l pip de r gulier

Un parall l pip de rectangle de masse $m$ et de c t s $a$ et $b$, perpendiculaire l'axe de rotation, tourne autour de son centre de masse, qui se trouve au centre g om trique du corps: <druyd>image</druyd>

(ID 10973)

Parall l pip de droit

Dans le cas d'un parall l pip de rectangle avec une masse $m$ et un c t $a$, le centre de masse se situe au centre g om trique : <druyd>image</druyd>

(ID 10963)

Mod le

<druyd>model</druyd>

(ID 15606)

Th or me de Steiner

<var>5315</var> peut tre calcul en utilisant <var>5284</var> et en ajoutant le moment d'inertie de <var>6150</var> comme s'il s'agissait d'une masse ponctuelle <var>5285</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 3688)

Moment d'inertie de la barre de longueur $l$ axe $\perp$

<var>5323</var> est obtenu en fonction de <var>6150</var> et <var>6151</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 4432)

Moment d'inertie du cylindre, axe $\parallel$

<var>5324</var> est obtenu en fonction de <var>6150</var> et <var>5319</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 4434)

Moment d'inertie du cylindre, axe $\perp$

<var>5325</var> est obtenu en fonction de <var>6150</var>, <var>5318</var> et <var>5319</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 4435)

Moment d'inertie d'un parallélépipède droit

<var>5323</var> est obtenu en fonction de <var>6150</var>, <var>6152</var> et <var>6153</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 4433)

Moment d'inertie d'une sphère

<var>5326</var> est obtenu en fonction de <var>6150</var> et <var>5321</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 4436)

Énergie cinétique de rotation

<var>5289</var> est une fonction de <var>6068</var> et dune mesure de linertie représentée par <var>5315</var> : <druyd>kyon</druyd>

(ID 3255)

ID:(1417, 0)