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Ejemplo de aplicación del método
Definición 
Si consideramos la energía interna $U(V,S)$, esta depende de dos variables:
• El volumen $V$
• La entropía $S$
Por lo tanto, su variación puede ser expresada utilizando la relación:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
en la forma:
$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$
De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, sabemos que la variación de la energía interna $dU$ es igual a:
De esta manera, podemos concluir que las pendientes son la presión $p$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$
y la temperatura $T$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$
ID:(12389, 0)
Ejemplo de potencial termodinámico
Imagen
Para encontrar las relaciones, se introducen los llamados potenciales termodinámicos, que son energías potenciales que incluyen o excluyen ciertas formas de energía en un sistema, como la energía asociada al trabajo $pV$ y la energía asociada a la entropía $TS$, que no puede ser utilizada para realizar trabajo.
En el caso de la entalpía $H$, esta corresponde a la energía interna del sistema, que incluye el movimiento de las partículas, pero también incorpora la energía necesaria para formar el sistema, es decir, el trabajo $pV$ realizado para establecerlo. Por lo tanto, se define como:
ID:(12390, 0)
Forma de trabajar en termodinámica
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Ecuaciones
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
con su variaci n
se puede concluir que
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
con su variaci n
se puede concluir que
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
con su variaci n
se puede concluir que
La tasa de lapso adiab tico, dada por
se puede expresar en funci n de la entalp a utilizando la relaci n
y la relaci n
como
$\Gamma =\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial p}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial \alpha}{\partial s}$
por lo tanto, la tasa de lapso adiab tico es
Como la capacidad calor fica a presi n constante se define a trav s de la entalp a como
$c_p=\left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial T }\right)_{ p , i }$
se tiene que
lo cual implica que
$c_p=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}=T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}$
por lo tanto, se tiene la relaci n
Con la tasa de lapso adiab tico dado por
se tiene que
que la tasa de lapso adiabatico se puede escribir como
$\Gamma=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial s }=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }\displaystyle\frac{\partial T }{\partial s }=\displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }$
se tiene que
Con la definici n del volumen espec fico
y la relaci n para la expansi n t rmica dada por
la derivada del volumen espec fico en funci n de la tasa de lapso adiab tico, expresada como
puede ser expresada como
Ejemplos
La termodin mica es la ciencia de los 'peque os pasos', donde se explora el comportamiento de un sistema f sico realizando variaciones en las funciones conocidas. Para ello:
- Se determina de qu par metros (por ejemplo, $x$ y $y$) depende una funci n, es decir, $f(x,y)$.
- Se var a cada uno de estos par metros (por ejemplo, $dx$ y $dy$) e identifica la correspondiente pendiente de la variaci n.
- Se busca encontrar la relaci n entre la pendiente y las relaciones ya encontradas dentro de la termodin mica.
Matem ticamente, esto se expresa como
La expresi n
$D_{x,y}f\equiv\left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y$
corresponde a la pendiente en la direcci n x sin variar las dem s variables (en este caso, y). Se lee como 'derivada parcial de f respecto a x, manteniendo y constante'.
Para el c lculo de los distintos par metros, es necesario ser capaz de derivar el potencial de Gibbs, lo cual implica analizar las pendientes de dicha funci n en t rminos de presi n o temperatura.
En general, los factores del potencial de Gibbs se definen como $g_x$, donde $x$ representa la variable y $g$ representa la energ a libre molar de Gibbs, de la siguiente manera:
Para el c lculo de varios par metros, es necesario poder derivar el potencial de Gibbs en segundo orden, lo que implica considerar las curvaturas de dicha funci n en t rminos de la presi n y/o temperatura.
En general, los factores del potencial de Gibbs se definen de la siguiente manera:
Si consideramos la energ a interna $U(V,S)$, esta depende de dos variables:
• El volumen $V$
• La entrop a $S$
Por lo tanto, su variaci n puede ser expresada utilizando la relaci n:
en la forma:
$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$
De acuerdo con la primera ley de la termodin mica, sabemos que la variaci n de la energ a interna $dU$ es igual a:
De esta manera, podemos concluir que las pendientes son la presi n $p$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$
y la temperatura $T$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$
Para encontrar las relaciones, se introducen los llamados potenciales termodin micos, que son energ as potenciales que incluyen o excluyen ciertas formas de energ a en un sistema, como la energ a asociada al trabajo $pV$ y la energ a asociada a la entrop a $TS$, que no puede ser utilizada para realizar trabajo.
En el caso de la entalp a $H$, esta corresponde a la energ a interna del sistema, que incluye el movimiento de las part culas, pero tambi n incorpora la energ a necesaria para formar el sistema, es decir, el trabajo $pV$ realizado para establecerlo. Por lo tanto, se define como:
Adem s del potencial termodin mico propiamente dicho, se puede definir su versi n molar simplemente dividiendo su magnitud por la masa molar. En el caso de la entalp a $H$, esto se define como
donde $M_m$ es la masa molar.
La entalp a depende de la presi n $p$, la entrop a $h$ y, en nuestro caso, tambi n de la concentraci n de sal $i$. Por lo tanto, las respectivas diferencias $dh$, $dp$ y $di$ deben cumplir:
Se ha determinado que la entalp a molar $h$ var a en funci n de la entrop a molar $s$, presi n $p$ y salinidad $i$ de la siguiente manera:
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la temperatura $T$:
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la presi n $p$:
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la salinidad $s$:
La estabilidad del agua marina se caracteriza mediante la llamada tasa de lapso adiab tico, que se relaciona directamente con el problema de los gradientes de temperatura y salinidad que pueden desestabilizar la columna de agua marina.
La tasa de lapso adiab tico se define como:
La tasa de lapso adiab tico se puede calcular utilizando el volumen efectivo $\alpha$ y el calor espec fico a presi n constante $c_p$ de la siguiente manera:
La entrop a molar var a con la temperatura de acuerdo a la siguiente relaci n:
La tasa de lapso adiab tico se puede calcular mediante la siguiente ecuaci n:
donde $T$ es la temperatura, $c_p$ es el calor espec fico a presi n constante y $\partial\alpha/\partial T$ es la variaci n del volumen relativo con respecto a la temperatura.
La tasa de variaci n adiab tica se puede calcular utilizando la temperatura $T$, el calor espec fico a presi n constante $c_p$, la dilataci n t rmica $k_T$ y la densidad $\rho$, de la siguiente manera:
ID:(1650, 0)