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Despegar
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La clave para despegar es modificar el ala de modo de lograr una sustentación suficiente a menor velocidad de modo de poder lograr despegar en una pista de largo dado.
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La fuerza de sustentación ($F_L$), junto con la envergadura de las alas ($L$), la densidad ($\rho$), el factor de velocidad superior del ala ($c_t$), el factor de velocidad inferior del ala ($c_b$), la largo superior del ala ($l_t$), la largo inferior del ala ($l_b$) y la velocidad respecto del medio ($v$), se encuentra en
Si consideramos la superficie que genera sustentación ($S_w$), definido por la envergadura de las alas ($L$), la largo superior del ala ($l_t$) y la largo inferior del ala ($l_b$),
y para el coeficiente de sustentación ($C_L$), definido como
obtenemos
La fuerza de sustentación ($F_L$) junto con la densidad ($\rho$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), el coeficiente de sustentación ($C_L$) y la velocidad respecto del medio ($v$) se representa como
lo cual, junto con la masa del cuerpo ($m$) y la aceleración gravitacional ($g$), debe ser igual a:
es decir:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho S_wC_Lv^2=mg$
lo que resulta en:
El coeficiente de sustentación ($C_L$) se calcula con la masa del cuerpo ($m$), la aceleración gravitacional ($g$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$) de la siguiente manera:
As , con la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$) y el angulo de ataque del ala ($\alpha$)
se obtiene
Si igualamos la fuerza de propulsión ($F_p$) con la fuerza de resistencia ($F_W$) con el perfil total del objeto ($S_p$), el coeficiente de resistencia ($C_W$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$) en
obtenemos, para una la velocidad máxima ($v_p$),
$F_p = \displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v_p ^2$
lo cual, al resolver para la velocidad m xima, resulta en
La velocidad respecto del medio ($v$) para un avi n que despega satisface la ecuaci n con la aceleración máxima ($a_p$), la velocidad máxima ($v_p$) y el tiempo de despegue ($t$):
Al integrarla, obtenemos la siguiente expresi n:
$\log(v_p + v) - \log(v_p - v) - \log(v_p + v_0) + \log(v_p - v_0)= \displaystyle\frac{2 a_p}{v_p} t$
Si la velocidad respecto del medio ($v$) es mucho menor que la velocidad máxima ($v_p$), los logaritmos pueden ser expandidos en una serie de Taylor, lo que conduce a una aproximaci n de primer orden:
Como la velocidad respecto del medio ($v$) al despegar, var a en funci n de el tiempo de despegue ($t$) conla aceleración máxima ($a_p$), la velocidad máxima ($v_p$) y el tiempo de despegue ($t$) de acuerdo con la ecuaci n
podemos expresar la velocidad como la tasa de cambio de el camino recorrido en la pista ($s$) con respecto a el tiempo de despegue ($t$):
$\displaystyle\frac{ds}{dt} = \sqrt{2 a_p v_p t }$
Esta ecuaci n se puede integrar, lo que nos proporciona la relaci n entre la distancia recorrida y el tiempo:
Ejemplos
El coeficiente de sustentación ($C_L$) es una funci n del ERROR:6121,0 y generalmente sigue la tendencia indicada en la siguiente figura:
En el caso representado, la pendiente es del orden de 1.5 por cada 15 grados, es decir, 0.1 1/grado o 5.73 1/radian.
Tanto los aviones como las aves pueden modificar la forma de sus alas para adaptarse a diferentes condiciones de vuelo. Los aviones utilizan los flaps, mientras que las aves utilizan sus plumas primarias y secundarias. De esta manera, ambos logran un alto coeficiente de sustentaci n a baja velocidad (en el despegue y el aterrizaje), mientras que a alta velocidad logran un coeficiente de sustentaci n reducido.
Adem s, los aviones tambi n cuentan con spoilers que les ayudan a frenar durante el aterrizaje.
Para que una nave o un ave puedan mantenerse en vuelo, la fuerza gravitacional ($F_g$) tiene que contrarrestar la fuerza de gravedad, que est definida por la masa del cuerpo ($m$) y la aceleración gravitacional ($g$). En otras palabras tiene que ser:
Esta es una situaci n simplificada en que no se considera que la fuerza de resistencia tambien puede generar una fuerza de sustentaci n.
Para crear una presi n mayor debajo que encima del ala y generar sustentaci n, se emplea la Ley de Bernoulli, corrigiendo la falta de conservaci n de la densidad de energ a mediante un coeficiente de sustentación ($C_L$). La presi n sobre el ala, la fuerza de sustentación ($F_L$), se puede estimar utilizando la densidad ($\rho$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), el coeficiente de sustentación ($C_L$) y la velocidad respecto del medio ($v$) mediante la siguiente f rmula:
La condici n para lograr el vuelo se cumple cuando la fuerza de sustentación ($F_L$) es igual al peso de la aeronave o ave, calculado a partir de la masa del cuerpo ($m$) y la aceleración gravitacional ($g$). Esto se consigue con suficientes valores adecuados de ERROR:6110,0, la superficie que genera sustentación ($S_w$) y el coeficiente de sustentación ($C_L$), donde este ltimo coeficiente es el factor que se puede ajustar. En el caso de las aeronaves, el piloto puede modificar el valor de el coeficiente de sustentación ($C_L$) utilizando los llamados flaps, cuyo valor debe cumplir con:
Los flaps se ajustan al variar el ngulo que el ala forma con la direcci n de vuelo, conocido como ngulo de ataque.
A partir de mediciones, se concluye que el coeficiente de sustentación ($C_L$) es proporcional al ERROR:6121,0 siendo la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$):
Despu s de cierto ngulo, la curva disminuye hasta llegar a cero. Esto se debe a que sobre dicho ngulo cr tico, los v rtices cubren completamente la superficie superior del ala, lo que resulta en la p rdida de sustentaci n. Este fen meno se conoce como "stall" (entrada en p rdida).
Como el coeficiente de sustentación ($C_L$) es proprocional al el angulo de ataque del ala ($\alpha$), donde el factor de proprocionalidad es la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$) se puede calcular el angulo necesario para volar con la masa del cuerpo ($m$), la aceleración gravitacional ($g$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$) mediante:
Es importante considerar que la lienalidad esta limitada a un angulo menor que unos 35 a 40 sobre el cual colapsa en forma catastrofica la sustentaci n. Por ello el angulo de ataque nunca se elige mayor a 30 o en la gerga de la aviaci n flap 30.
Si durante un despegue, un avi n con la numero de propulsores ($n$) pierde un motor, la fuerza de propulsión ($F_p$) disminuye, lo que podr a impedir que el avi n consiga despegar, obligando a abortar la maniobra. Sin embargo, si la velocidad respecto del medio ($v$) supera el nuevo valor de la velocidad máxima ($v_p$), es posible continuar con el despegue de manera segura. Por esta raz n, el piloto monitorea constantemente y avisa al piloto al mando cuando se ha alcanzado la llamada la velocidad critica $V2$ ($V2$), que corresponde a la velocidad cr tica, calculada mediante:
La velocidad de rotación $Vr$ ($Vr$) se alcanza cuando el avi n es capaz de despegar al rotar el ngulo de ascenso necesario. En otras palabras, corresponde al caso en el que, con los valores de la masa del cuerpo ($m$), la aceleración gravitacional ($g$), la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$), la aceleración gravitacional ($g$), el perfil total del objeto ($S_p$) y el angulo de ataque del ala ($\alpha$):
Al inicio del despegue, la resistencia aerodin mica, que depende de la velocidad, es m nima. Por lo tanto, la aceleración máxima ($a_p$) est determinada nicamente por la fuerza de propulsión ($F_p$) y la masa del cuerpo ($m$):
A medida que la resistencia comience a reducir la fuerza de propulsi n, esta aceleraci n inicial ser la m xima posible.
La fuerza de propulsión ($F_p$) contrarresta la fuerza de resistencia ($F_W$) generando velocidad, lo que a su vez aumenta la misma fuerza de resistencia, como se describe en el perfil total del objeto ($S_p$), el coeficiente de resistencia ($C_W$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$) en
Este proceso contin a aumentando la velocidad hasta el punto en el que la fuerza de propulsi n iguala a la fuerza de resistencia, lo que representa la velocidad m xima alcanzable.
Al igualar la fuerza de propulsi n con la fuerza de resistencia y resolver para la velocidad, obtenemos la velocidad máxima ($v_p$):
A medida que la resistencia comience a reducir la fuerza de propulsi n, esta aceleraci n inicial ser la m xima posible.
La velocidad respecto del medio ($v$) para un avi n que despega satisface la ecuaci n con la aceleración máxima ($a_p$), la velocidad máxima ($v_p$), y el tiempo de despegue ($t$):
Cuando se integra en el l mite ERROR:6110,0 mucho menor que ERROR:10075,0, obtenemos:
Generalmente, la velocidad de despegue de una aeronave es significativamente menor que la velocidad m xima la velocidad máxima ($v_p$). Por lo tanto, la ecuaci n puede resolverse de manera anal tica, como se explica en el desarrollo.
Dado que la velocidad respecto del medio ($v$) al despegar, var a en funci n de el tiempo de despegue ($t$) conla aceleración máxima ($a_p$), la velocidad máxima ($v_p$) y el tiempo de despegue ($t$) de acuerdo con la ecuaci n
podemos calcular la el camino recorrido en la pista ($s$) al integrar esta ecuaci n en el tiempo:
Por otro lado, al considerar la velocidad requerida para el despegue, podemos determinar el tiempo necesario para alcanzarla y, utilizando la distancia recorrida, calcular la longitud de pista necesaria para la operaci n de despegue.
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