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Bernoulli con presión hidrostatica
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Si consideramos un fluido sin viscosidad y sin turbulencias (flujo laminar), podemos suponer que la energía se conserva y fluye con el líquido (o gas). En estos casos, obtenemos una ecuación que establece que la suma de la densidad de energía cinética y la densidad de energía potencial son constantes.
Esto permite calcular cómo evoluciona la velocidad en función de la posición siempre que se conozca la presión existente o cualquier campo de fuerza.
El único problema es que la mayoría de los medios presentan una viscosidad relevante y, por lo tanto, tienden a no tener turbulencias o estas son despreciables y el flujo es intrínsecamente turbulento. Por lo tanto, la aplicación de la ley de Bernoulli en este sentido está restringida, o más bien, es una primera aproximación.
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Bernoulli con presión hidrostatica
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Si consideramos un fluido sin viscosidad y sin turbulencias (flujo laminar), podemos suponer que la energía se conserva y fluye con el líquido (o gas). En estos casos, obtenemos una ecuación que establece que la suma de la densidad de energía cinética y la densidad de energía potencial son constantes. Esto permite calcular cómo evoluciona la velocidad en función de la posición siempre que se conozca la presión existente o cualquier campo de fuerza. El único problema es que la mayoría de los medios presentan una viscosidad relevante y, por lo tanto, tienden a no tener turbulencias o estas son despreciables y el flujo es intrínsecamente turbulento. Por lo tanto, la aplicación de la ley de Bernoulli en este sentido está restringida, o más bien, es una primera aproximación.
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Otra ecuaci n til es la que corresponde a la conservaci n de energ a, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energ a, puede ser despreciada. Si consideramos la cl sica ecuaci n de energ a $E$, que incluye la energ a cin tica, la energ a potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el l quido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energ a en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presi n se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuaci n de densidad de energ a:
Otra ecuaci n til es la que corresponde a la conservaci n de energ a, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energ a, puede ser despreciada. Si consideramos la cl sica ecuaci n de energ a $E$, que incluye la energ a cin tica, la energ a potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el l quido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energ a en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presi n se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuaci n de densidad de energ a:
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuaci n:
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
Si asumimos que la densidad de energía ($e$) se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la densidad es la densidad ($\rho$), la presi n es la presión de la columna de agua ($p$), la altura es la altura de la columna ($h$) y la aceleraci n gravitacional es la aceleración gravitacional ($g$), se cumple lo siguiente:
En un punto 1, esta ecuaci n ser igual a la misma ecuaci n en un punto 2:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representan la velocidad, altura y presi n en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, altura y presi n en el punto 2, respectivamente. Por lo tanto, se tiene:
Ejemplos
Si consideramos el flujo como una serie de vol menes con lados $\Delta x$, $\Delta y$ y $\Delta z$ desplaz ndose en la corriente, podemos asumir que la energ a contenida se mantiene constante. Esto implica que la densidad de energ a calculada en cualquier punto siempre ser la misma.
Si el medio tiene una densidad $\rho$, la masa del volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ se puede calcular como:
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
A partir de esto, podemos estimar la energ a cin tica del elemento utilizando la velocidad $v$:
$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$
Esto se puede visualizar en la siguiente imagen:
Por ello la densidad de la energ a cinetica resulta
$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
Si el medio tiene una densidad de $\rho$ la masa del volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ se puede calcular de
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
con lo que se puede estimar con la altura $h$ la energ a potencial gravitacional del elemento
$mgh=\rho\Delta x\Delta y\Delta z gh$
lo que se visualiza en
Por ello la densidad de la energ a potencial gravitacional resulta
$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$
Si asumimos que existe una fuerza que act a sobre el elemento y si orientamos el sistema de coordenadas de modo que esta act e en la direcci n x, entonces la fuerza estar realizando un trabajo dado por:
$F\Delta x$
Si la fuerza es generada por una presi n, entonces esta actuar sobre la superficie perpendicular a la direcci n de la fuerza, es decir, $\Delta y \Delta z$. Por lo tanto, la energ a ser a:
$F \Delta x= p \Delta S\Delta x = p \Delta x\Delta y\Delta z$
Esto se puede visualizar en la siguiente imagen:
Por ello la densidad de la energ a general resulta
$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$
La hip tesis de Bernoulli postula que la energ a se conserva localmente, es decir, no hay mecanismos que permitan que un volumen del medio intercambie energ a con su entorno. Si consideramos la ecuaci n de energ a $E$, que incluye:
• La energ a cin tica en funci n de la masa $m$ y la velocidad en un radio del cilindro ($v$),
• La energ a potencial gravitacional en funci n de la aceleración gravitacional ($g$) y la altura de la columna ($h$), y
• Una fuerza externa $F$ que desplaza el l quido una distancia $\Delta z$,
podemos expresarla de esta manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energ a en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por la densidad ($\rho$):
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presión de la columna de agua ($p$) se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuaci n de la densidad de energía ($e$):
En ausencia de viscosidad, la conservaci n de energ a implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presi n en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relaci n entre la velocidad y la presi n en cualquier punto del fluido.
La hip tesis de la ley de Bernoulli es que la energ a, y por ende la densidad de energía ($e$), es constante. En este caso, la densidad de energ a es la suma de:
• Cin tica, que depende de la densidad del líquido ($\rho_w$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$)
• Potencial gravitacional, que depende de la aceleración gravitacional ($g$) y la altura de la columna ($h$)
• Potencial en general, que depende de la presión ($p$)
lo que resulta en:
Sin embargo, esto limita la aplicabilidad de la ley debido a que:
• La viscosidad es un proceso en el que la energ a se difunde a trav s del medio y, en este sentido, la energ a no se conserva localmente ya que se redistribuye en el medio.
• No pueden existir v rtices, ya que estos presentan inherentemente zonas de densidades de energ a diferentes y, por lo tanto, contravienen la hip tesis. Esto significa que la ley no describir a un flujo turbulento.
El problema es que en la mayor a de los casos, el flujo puede ser dominado por la viscosidad, denomin ndose el flujo como "laminar", o dominado por la inercia, lo que observamos como un flujo "turbulento". Por lo tanto, la ley de Bernoulli es un modelo solo aplicable en situaciones en las que la inhomogeneidad de la densidad de energ a es menor.
Si asumimos que la densidad de energía ($e$) se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la densidad es la densidad ($\rho$), la presi n es la presión de la columna de agua ($p$), la altura es la altura de la columna ($h$) y la aceleraci n gravitacional es la aceleración gravitacional ($g$), se cumple lo siguiente:
En un punto 1, esta ecuaci n ser igual a la misma ecuaci n en un punto 2:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representan la velocidad, altura y presi n en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, altura y presi n en el punto 2, respectivamente.
Por lo tanto, se tiene la ecuaci n de Bernoulli [1]:
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
Es importante tener en cuenta que se han hecho las siguientes suposiciones:
Se conserva la energ a, en particular, se supone la ausencia de viscosidad.
No hay deformaci n en el medio, por lo tanto, la densidad no var a.
No hay vorticidad, es decir, no hay torbellinos que generen circulaci n en el medio. El fluido debe presentar un comportamiento laminar.
En los dispensadores de perfume, se crea un flujo de aire sobre un tubo sumergido en el perfume. Esto genera una disminuci n de la presi n, lo que provoca que la presi n en la columna de perfume sea menor que la columna generada por el l quido dentro del frasco. Como resultado, el l quido es impulsado a trav s de la columna. Finalmente, el l quido que alcanza la parte superior es pulverizado y transportado por el chorro de aire.
Para modelar el sistema, se puede utilizar la ley de Bernoulli con la densidad del l quido la densidad del líquido ($\rho_w$) y la altura la aceleración gravitacional ($g$). Si el punto 1 est en la base del tubo de transporte del l quido, entonces la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) es nulo, la altura o profundidad 1 ($h_1$) es la profundidad del l quido ($h$), y la presión en la columna 1 ($p_1$) es la presi n atmosf rica. Si el punto 2 est en la salida superior del tubo de transporte del l quido, entonces la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es la velocidad con la que emerge el l quido ($v$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) es nulo, y la presión en la columna 2 ($p_2$) es la presi n atmosf rica. Por lo tanto, la expresi n
se reduce a
$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $
ya que la presi n atmosf rica se simplifica. Con ello, la velocidad con la que emerge el l quido es:
$v = \sqrt{ 2 g h }$
Si la energ a se conserva dentro de los vol menes que fluyen con el flujo, entonces la densidad de energía en 1 ($e_1$) y la densidad de energía en 2 ($e_2$) deben ser iguales:
Esto solo es posible si la viscosidad es despreciable, ya que esta est asociada a la difusi n de energ a y no existen torbellinos, los cuales presentan diferencias de energ a debido a las velocidades tangenciales variadas a lo largo del radio del v rtice.
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energ a ya no puede asociarse a una masa espec fica. Sin embargo, es posible considerar la energ a contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
que corresponde a la ecuaci n de Bernoulli.
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energ a ya no puede asociarse a una masa espec fica. Sin embargo, es posible considerar la energ a contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
que corresponde a la ecuaci n de Bernoulli.
Con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representando la velocidad, altura y presi n en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representando la velocidad, altura y presi n en el punto 2, respectivamente se tiene que:
La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presi n en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una funci n de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:
Cuando se conectan dos columnas de l quido con la altura de columna de líquido 1 ($h_1$) y la altura de columna de líquido 2 ($h_2$), se crea una la diferencia de altura ($\Delta h$) que se calcula de acuerdo con la siguiente f rmula:
la diferencia de altura ($\Delta h$) generar la diferencia de presiones que desplazar el l quido de la columna m s alta hacia la columna m s baja.
Cuando se conectan dos columnas de l quido con la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$), se crea una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula mediante la siguiente f rmula:
la diferencia de presión ($\Delta p$) representa la diferencia de presiones que desplazar el l quido de la columna m s alta hacia la columna m s baja.
La diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) es con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es
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